Bất đẳng thức khó cực khó( dành cho các thánh)

[nguyendanganh99]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm Min của: 2/(a2+b2) + 35/ab +2ab
a,b>0 a+b<=4

 

[nguyenbahiep1]

Tìm Min của: [TEX]2/(a^2+b^2) + 35/ab +2ab [/TEX]
a,b>0 a+b<=4


Giải

[laTEX](a+b)^2 \leq 16 \Rightarrow a^2+b^2 \leq 16-2ab \\ \\ (a+b)^2 \geq 4ab \Rightarrow ab \leq 4 \\ \\ P \geq \frac{1}{8-ab} + \frac{35}{ab} +2ab \\ \\ \Leftrightarrow \frac{1}{8-ab} + \frac{8-ab}{16} + \frac{33ab}{16} + \frac{33}{ab} +2ab - \frac{1}{2} \\ \\ P \geq \frac{2.1}{4} + \frac{2.33}{4} + \frac{2}{4} - \frac{1}{2} = 17 \\ \\ Min_P = 17 \Leftrightarrow a = b = 2 [/laTEX]

 

[harrypham]

Lời giải. Đặt [LATEX]A= \dfrac{2}{a^2+b^2}+ \dfrac{35}{ab}+2ab[/LATEX].
Áp dụng BĐT dạng [LATEX]\frac 1x+ \frac 1y \ge \frac{4}{x+y} \; \; x,y>0[/LATEX] ta có

[LATEX]\dfrac{4}{2(a^2+b^2)}+ \dfrac{4}{4ab} \ge \dfrac{4^2}{2(a+b)^2} \ge \frac 12 \qquad (1)[/LATEX].​

Áp dụng BĐT AM-GM ta có

[LATEX]2ab+ \dfrac{32}{ab} \ge 16 \qquad (2)[/LATEX].​

Cuối cùng

[LATEX]\dfrac{2}{ab} \ge \frac 12 \qquad (3)[/LATEX].​

Cộng [LATEX](1)+(2)+(3)[/LATEX] ta thu được [LATEX]A \ge 17[/LATEX].
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [LATEX]a=b=2[/LATEX].