Toán 9 Bất đẳng thức hình học

[7 1 2 5]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R). Gọi giao điểm của AO với BC là D, BO với AC là E, CO với AB là F.
Chứng minh: [tex]OD+OE+OF\geq \frac{3}{2}R[/tex]

 

[iceghost]

Để ý $$\dfrac{DO}{DA} = \dfrac{S_{OBC}}{S_{ABC}}$$
Tương tự và cộng lại ta có $$\dfrac{DO}{DA} + \dfrac{EO}{EB} + \dfrac{FO}{FC} = \dfrac{S_{ABC}}{S_{ABC}} = 1$$
Đặt $DO = xR$, $EO = yR$, $FO = zR$ thì ta có $\dfrac{x}{x+1} + \dfrac{y}{y + 1} + \dfrac{z}{z + 1} = 1$ hay $$\dfrac{1}{x+1} + \dfrac{1}{y+1} + \dfrac{1}{z+1} = 2$$
Áp dụng bđt Cô-si ta có $$2 \geqslant \dfrac{3}{\sqrt[3]{(x+1)(y+1)(z+1)}} \geqslant \dfrac{9}{x+1 + y+1 + z+1}$$
Suy ra $x+y+z \geqslant \dfrac{3}2$ hay ta có đpcm

 

[Đỗ Hằng]

Để ý $$\dfrac{DO}{DA} = \dfrac{S_{OBC}}{S_{ABC}}$$
Tương tự và cộng lại ta có $$\dfrac{DO}{DA} + \dfrac{EO}{EB} + \dfrac{FO}{FC} = \dfrac{S_{ABC}}{S_{ABC}} = 1$$
Đặt $DO = xR$, $EO = yR$, $FO = zR$ thì ta có $\dfrac{x}{x+1} + \dfrac{y}{y + 1} + \dfrac{z}{z + 1} = 1$ hay $$\dfrac{1}{x+1} + \dfrac{1}{y+1} + \dfrac{1}{z+1} = 2$$
Áp dụng bđt Cô-si ta có $$2 \geqslant \dfrac{3}{\sqrt[3]{(x+1)(y+1)(z+1)}} \geqslant \dfrac{9}{x+1 + y+1 + z+1}$$
Suy ra $x+y+z \geqslant \dfrac{3}2$ hay ta có đpcm

Cho em hỏi tại sao mẫu lại là x+1, y+1, z+1 ạ?

 

[Minh Dora]

Cho em hỏi tại sao mẫu lại là x+1, y+1, z+1 ạ?

AD=OD+OA=xR+R=(x+1)R
OD/AD=xR/(x+1)R=x/(x+1)
Tương tự