Bài giải của hocmai.toanhoc ( Trịnh Hào Quang)
Đề bài phải có số 2 bạn ah, chính xác là:
Cho a,b,c>1.
CMR:
[TEX]\frac{{\left( {\log _b a} \right)^2 }}{{a + b}} + \frac{{\left( {\log _c b} \right)^2 }}{{b + c}} + \frac{{\left( {\log _a c} \right)^2 }}{{c + a}} \ge \frac{9}{{2(a + b + c)}}[/TEX]
Giải:
Đặt:
[TEX]\left\{ \begin{array}{l}x = \log _b a \\y = \log _c b \\z = \log _a c \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x,y,z > 0 \\xyz = 1 \\\end{array} \right. \\\left( {x + y + z} \right)^2 = \left( {\sqrt {a + b} .\frac{x}{{\sqrt {a + b} }} + \sqrt {b + c} .\frac{y}{{\sqrt {b + c} }} + \sqrt {c + a} .\frac{z}{{\sqrt {c + a} }}} \right)^2 \\\le 2\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{{x^2 }}{{a + b}} + \frac{{y^2 }}{{b + c}} + \frac{{z^2 }}{{c + a}}} \right) \Rightarrow \frac{{x^2 }}{{a + b}} + \frac{{y^2 }}{{b + c}} + \frac{{z^2 }}{{c + a}} \ge \frac{{\left( {x + y + z} \right)^2 }}{{2\left( {a + b + c} \right)}} \ge \frac{{\left( {3\sqrt[3]{{xyz}}} \right)^2 }}{{2\left( {a + b + c} \right)}} \\ = \frac{9}{{2(a + b + c)}} \\\\\[/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Tôi nghĩ bài này đề bài là:
[TEX]\frac{{\log _b a^2 }}{{a + b}} + \frac{{\log _c b^2 }}{{b + c}} + \frac{{\log _a c^2 }}{{c + a}} \ge \frac{9}{{a + b + c}}[/TEX]
Cách làm giống hệt như trên!
Vậy đấy bạn ah!
Chúc bạn thành công!
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn