Toán 9 Bất đẳng thức đối xứng

[7 1 2 5]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn [tex]x^2+y^2+z^2=1[/tex]
Chứng minh [tex]xyz + 2(1+x+y+z+xy+yz+zx)\geq 0[/tex]
@iceghost @Tiến Phùng @Hoàng Vũ Nghị

 

[Hoàng Vũ Nghị]

ta có
[tex]-1\leq x,y,z\leq 1[/tex]
[tex]\Rightarrow (1+x)(1+y)(1+z)\geq 0\\\Leftrightarrow xyz+xy+yz+zx+x+y+z\geq 0[/tex]
Lại có
[tex](x+y+z+1)^2\geq 0\\\Rightarrow x^2+y^2+z^2+1+2(xy+yz+zx+x+y+z)\geq 0\\\Rightarrow 1+xy+yz+zx+x+y+z\geq 0\\\Rightarrow xyz+2(1+xy+yz+zx+x+y+z)\geq 0[/tex]
Dấu = xảy ra khi 1 số =-1 và 2 số còn lại bằng 0