Toán 9 Bất đẳng thức đỗi sứng

[Wweee]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1 Tìm MAX của P = [tex]\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}[/tex]

 

[shorlochomevn@gmail.com]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1 Tìm MAX của P = [tex]\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}[/tex]

[tex]<=> \sum (2+b).(2+c)\leq (2+a).(2+b).(2+c)\\\\ <=> \sum 4+2b+2c+bc\leq (4+2a+2b+ab).(2+c)\\\\ <=> 12+4(a+b+c)+(ab+bc+ca)\leq 8+4a+4b+2ab+4c+2ac+2bc+abc\\\\ <=> 4\leq ab+bc+ca+abc\\\\ +, ab+bc+ca+abc\geq 4\sqrt[4]{a^3b^3c^3}=4[/tex]
suy ra [tex]P\leq 1[/tex]
dấu "=" <=> a=b=c=1

 

[Lê.T.Hà]

Có thể làm 1 cách "tự nhiên" hơn:
[tex]2P=\frac{2}{2+a}+\frac{2}{2+b}+\frac{2}{2+c}=3-\left ( \frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2} \right )[/tex]
[tex]2P\leq 3-\frac{\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right )^2}{a+b+c+6}=3-\frac{a+b+c+2\left ( \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} \right )}{a+b+c+6}\leq 3-\frac{a+b+c+6\sqrt[3]{abc}}{a+b+c+6}=3-1=2[/tex]

 

[7 1 2 5]

Đặt [tex]p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc=1\Rightarrow P=\frac{q+4p+12}{r+2q+4p+8}=\frac{q+4p+12}{2q+4p+9}[/tex]
Vì [tex]q=ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=1\Rightarrow P=\frac{q+4p+12}{2q+4p+9}\leq \frac{q+4p+12}{q+3+4p+9}=\frac{q+4p+12}{q+4p+12}=1[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1.

 

[nguyen van ut]

Có thể làm 1 cách "tự nhiên" hơn:
[tex]2P=\frac{2}{2+a}+\frac{2}{2+b}+\frac{2}{2+c}=3-\left ( \frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2} \right )[/tex]
[tex]2P\leq 3-\frac{\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right )^2}{a+b+c+6}=3-\frac{a+b+c+2\left ( \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} \right )}{a+b+c+6}\leq 3-\frac{a+b+c+6\sqrt[3]{abc}}{a+b+c+6}=3-1=2[/tex]

Cho mình hỏi với ạ: đoạn 2P <3-... là dùng bất đẳng thức gì vậy ạ?

 

[7 1 2 5]

Cho mình hỏi với ạ: đoạn 2P <3-... là dùng bất đẳng thức gì vậy ạ?

BĐT Schwartz nhé bạn.