Toán 9 Bất đẳng thức- Cực trị

[nguyenduykhanhxt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho [tex]x,y,z[/tex] thỏa mãn [tex] x+y+z=1[/tex]. Tìm min, max
[tex] A=x^2+y^2+z^2+\frac{9}{2}xyz[/tex]
2.Cho các số dương x,y thỏa mãn [tex] x^2+y^2+\frac{1}{xy}=3[/tex]. Tìm GTLN:
[tex] B=2(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2})-\frac{3}{1+2xy}[/tex]
3.Cho hai số thực dương [tex]x,y[/tex] thỏa mãn [tex] 2\sqrt{xy}+\frac{x}{3}=1[/tex]. Tìm GTNN
[tex] C= \frac{y}{x}+\frac{4x}{3y}+15xy[/tex]
4.Cho [tex]a,b[/tex] thỏa mãn [tex] \begin{vmatrix} a \end{vmatrix},\begin{vmatrix} b \end{vmatrix} \geq 2[/tex]. Chứng minh rằng: [tex] (a^2+1)(b^2+1)\geq (a+b)(ab+1)+5[/tex]
Giúp mình với ạ: @Mộc Nhãn

 

[Lena1315]

3) [tex]C=\frac{y}{x}+\frac{x}{y}+\frac{x}{3y}+3xy+12xy+\frac{4}{3}-\frac{4}{3} \geq 2+2x+8\sqrt{xy}-\frac{4}{3}=2x+\frac{2}{3}+8\sqrt{xy} \geq 4\sqrt{\frac{x}{3}}+8\sqrt{xy}=4[/tex]
Dấu bằng khi [tex]x=y=\frac{1}{3}[/tex]

1) MAX: [tex]P=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{9}{2}xyz=(x+y+z)^{2}-2(xy+yz+xz)+\frac{9}{2}xyz=1-\frac{4(xy+yz+xz)-9xyz}{2}[/tex]
Khai triển hết ra, cm được [tex]4(xy+yz+xz)-9xyz= 4(xy+yz+xz)(x+y+z)-9xyz \geq 0[/tex] (đây là bdt Schur)
[tex]\Rightarrow P \leq 1[/tex]

2) [tex]3=x^2+y^2+\frac{1}{xy}\geq xy+xy+\frac{1}{xy}\geq xy+2 \Rightarrow xy \leq 1[/tex]
Áp dụng kết quả quen thuộc: [tex]\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}\leq \frac{2}{xy+1}[/tex] với mọi [tex]x,y >0, xy \leq 1[/tex]
(Để đây lát nghĩ tiếp, sr @@)

................