Toán 8 Bất đẳng thức Cauchy

[Minh Tín]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm số thực dương nhỏ nhất [TEX]c[/TEX] sao cho với mọi số thực không âm [TEX]x; y[/TEX] ta đều có:
[tex]\sqrt{xy} +c|x-y|\geq \frac{x+y}{2}[/tex]

 

[thaohien8c]

Tìm số thực dương nhỏ nhất [TEX]c[/TEX] sao cho với mọi số thực không âm [TEX]x; y[/TEX] ta đều có:
[tex]\sqrt{xy} +c|x-y|\geq \frac{x+y}{2}[/tex]

Mình nghĩ như thế này nè
[tex]\sqrt{xy}+c\left | x-y \right |\geq \frac{x+y}{2} (1) **** \frac{x+y}{2}\geq \frac{2\sqrt{xy}}{2}= \sqrt{xy}( BĐT Cauchy) => (1) \sqrt{xy}+c\left | x-y \right |\geq \sqrt{xy} <=> c\left | x-y \right |\geq 0 (x,y \epsilon số thực k âm ) => c\geq 0 => c=0[/tex]

 

[Minh Tín]

Mình nghĩ như thế này nè
[tex]\sqrt{xy}+c\left | x-y \right |\geq \frac{x+y}{2} (1) **** \frac{x+y}{2}\geq \frac{2\sqrt{xy}}{2}= \sqrt{xy}( BĐT Cauchy) => (1) \sqrt{xy}+c\left | x-y \right |\geq \sqrt{xy} <=> c\left | x-y \right |\geq 0 (x,y \epsilon số thực k âm ) => c\geq 0 => c=0[/tex]

Bạn ơi số thực dương mà bạn

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Ta đi chứng minh c=[tex]\frac{1}{2}[/tex] là giá trị cần tìm
Thật vậy với c=[tex]\frac{1}{2}[/tex] ta có
[tex]\left | x-y \right |\geq (\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2}[/tex]
Với [tex]x\geq y\\[/tex] ta có [tex]x-y+2\sqrt{xy}\geq x+y\\\Leftrightarrow \sqrt{x}\geq \sqrt{y}[/tex]
luôn đúng
Với x<y làm tương tự
Dấu = xảy ra khi x=y
...
k biết đúng k

 

[Minh Dora]

Ta đi chứng minh c=[tex]\frac{1}{2}[/tex] là giá trị cần tìm
Thật vậy với c=[tex]\frac{1}{2}[/tex] ta có
[tex]\left | x-y \right |\geq (\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2}[/tex]
Với [tex]x\geq y\\[/tex] ta có [tex]x-y+2\sqrt{xy}\geq x+y\\\Leftrightarrow \sqrt{x}\geq \sqrt{y}[/tex]
luôn đúng
Với x<y làm tương tự
Dấu = xảy ra khi x=y
...
k biết đúng k

Nếu thế thì phải xét với c khác 1/2 thì sẽ thế nào chứ nhỉ

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Nếu thế thì phải xét với c khác 1/2 thì sẽ thế nào chứ nhỉ

cái ở cuối xảy ra dấu = khi c=1/2
Thì xét cái gì nữa?