- 24 Tháng mười 2018
- 1,616
- 1,346
- 216
- 25
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
I. Bất đẳng thức Cauchuy
- Dạng tổng quát của bất đẳng thức Cauchuy: với dãy số thực [tex](a_1,a_2,...,a_n)[/tex] sao cho [tex]a_i\geq 0[/tex]. khi đó ta luôn có:
[tex]a_1+a_2+a+3+...+a_n\geq n.\sqrt[n]{a_1.a_2.a_3....a_n}[/tex]
dấu bằng xảy ra khi [tex]a_1=a_2=a_3=...=a_n[/tex]
- Một số hệ quả thường dùng:
+ cauchuy cho 2 số: - [tex]x+y\geq 2\sqrt{xy}[/tex], [tex]\forall x,y\geq 0[/tex]
- [tex]x^2+y^2\geq 2xy[/tex], xảy ra [tex]\forall x,y\in \mathbb{R}[/tex]
+ cauchuy cho bộ 3 số: [tex]a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}[/tex], [tex]\forall a,b,c\geq 0[/tex]
- bất đẳng thức Cauchuy được sử dụng phổ biến trong chương trình THPT, kể cả trong đại số lẫn 1 số bài hình học. hãy xét qua 1 số ví dụ sau.
* ví dụ 1: cho 2014 số thực dương [tex]a_1,a_2,a_3,...,a_{2014}[/tex] có tổng bằng 2014. Chứng minh rằng:
[tex]\frac{a_1^{20}}{a_2^{11}}+\frac{a_2^{20}}{a_3^{11}}+...+\frac{a_{2014}^{20}}{a_1^{11}}\geq 2014[/tex]
- nhận xét rằng [tex]a_1, a_2,...,a_{2014}[/tex] có vai trò như nhau nên ta dự đoán điểm rơi xảy ra tại [tex]a_1=a_2=...=a_{2014}=1[/tex]. khi đó, việc của ta là cần đánh giá [tex]\frac{a_n^{20}}{a_{n+1}^{11}}+P(a_i)\geq k.a_n[/tex]. ta có cauchuy cho bộ 3 số dương:
[tex]\frac{a_1^{20}}{a_2^{11}}+11a_2+8\geq 20\sqrt[20]{\frac{a_1^{20}}{a_2^{11}}.11a_2.8}= 20a_1[/tex]
- tương tự với 2013 số hạng còn lại, để ý rằng [tex]a_1+a_2+...+a_{2014}=2014[/tex], cộng lại ta được điều phải chứng minh.
II. Bất đẳng thức Cauchuy-Shwarz
- Dạng tổng quát của bất đẳng thức Cauchuy-Shwarz: cho 2 dãy số thực [tex](a_1,a_2,...,a_n)[/tex] và [tex](b_1,b_2,...,b_n)[/tex] ta luôn có bất đẳng thức sau:
[tex](a_1.b_1+a_2.b_2+...+a_n.b_n)^2\leq (a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)[/tex]
dấu bằng xảy ra khi [tex]\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=...=\frac{a_n}{b_n}[/tex]
- Cauchuy-Shwarz dạng phân thức: với 2 dãy số thực [tex](a_1,a_2,...,a_n)[/tex] và [tex](b_1, b_2,...,b_n)[/tex] sao cho [tex]b_i> 0[/tex]. khi đó ta luôn có bất đẳng thức:
[tex]\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+...+\frac{a_n^2}{b_n}\geq \frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{b_1+b_2+...+b_n}[/tex]
dấu bằng xảy ra khi [tex]\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=...=\frac{a_n}{b_n}[/tex]
- Dạng vectơ: [tex]\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\leq a.b[/tex]
dấu bằng xảy ra khi [tex]\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}[/tex] cùng hướng.
III. Bất đẳng thức Minkowski
- Dạng tổng quát của bất đẳng thức Minkowski: cho 2 dãy số thực [tex](a_1,a_2,...,a_n)[/tex] và [tex](b_1,b_2,...,b_n)[/tex] ta luôn có bất đẳng thức sau:
[tex]\sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}+...+\sqrt{a_n^2+b_n^2}\geq \sqrt{(a_1+a_2+...+a_n)^2+(b_1+b_2+...+b_n)^2}[/tex]
dấu bằng xảy ra khi [tex]\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=...=\frac{a_n}{b_n}[/tex]
- Dạng vectơ: với các vectơ [tex]\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},...,\overrightarrow{a_n}[/tex] ta luôn có:
[tex]|\overrightarrow{a_1}|+|\overrightarrow{a_2}|+...+|\overrightarrow{a_n}|\geq |\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+...+\overrightarrow{a_n}|[/tex]
dấu bằng xảy ra khi tất cả vecto trên đều cùng hướng.
- Dạng tổng quát của bất đẳng thức Cauchuy: với dãy số thực [tex](a_1,a_2,...,a_n)[/tex] sao cho [tex]a_i\geq 0[/tex]. khi đó ta luôn có:
[tex]a_1+a_2+a+3+...+a_n\geq n.\sqrt[n]{a_1.a_2.a_3....a_n}[/tex]
dấu bằng xảy ra khi [tex]a_1=a_2=a_3=...=a_n[/tex]
- Một số hệ quả thường dùng:
+ cauchuy cho 2 số: - [tex]x+y\geq 2\sqrt{xy}[/tex], [tex]\forall x,y\geq 0[/tex]
- [tex]x^2+y^2\geq 2xy[/tex], xảy ra [tex]\forall x,y\in \mathbb{R}[/tex]
+ cauchuy cho bộ 3 số: [tex]a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}[/tex], [tex]\forall a,b,c\geq 0[/tex]
- bất đẳng thức Cauchuy được sử dụng phổ biến trong chương trình THPT, kể cả trong đại số lẫn 1 số bài hình học. hãy xét qua 1 số ví dụ sau.
* ví dụ 1: cho 2014 số thực dương [tex]a_1,a_2,a_3,...,a_{2014}[/tex] có tổng bằng 2014. Chứng minh rằng:
[tex]\frac{a_1^{20}}{a_2^{11}}+\frac{a_2^{20}}{a_3^{11}}+...+\frac{a_{2014}^{20}}{a_1^{11}}\geq 2014[/tex]
- nhận xét rằng [tex]a_1, a_2,...,a_{2014}[/tex] có vai trò như nhau nên ta dự đoán điểm rơi xảy ra tại [tex]a_1=a_2=...=a_{2014}=1[/tex]. khi đó, việc của ta là cần đánh giá [tex]\frac{a_n^{20}}{a_{n+1}^{11}}+P(a_i)\geq k.a_n[/tex]. ta có cauchuy cho bộ 3 số dương:
[tex]\frac{a_1^{20}}{a_2^{11}}+11a_2+8\geq 20\sqrt[20]{\frac{a_1^{20}}{a_2^{11}}.11a_2.8}= 20a_1[/tex]
- tương tự với 2013 số hạng còn lại, để ý rằng [tex]a_1+a_2+...+a_{2014}=2014[/tex], cộng lại ta được điều phải chứng minh.
II. Bất đẳng thức Cauchuy-Shwarz
- Dạng tổng quát của bất đẳng thức Cauchuy-Shwarz: cho 2 dãy số thực [tex](a_1,a_2,...,a_n)[/tex] và [tex](b_1,b_2,...,b_n)[/tex] ta luôn có bất đẳng thức sau:
[tex](a_1.b_1+a_2.b_2+...+a_n.b_n)^2\leq (a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)[/tex]
dấu bằng xảy ra khi [tex]\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=...=\frac{a_n}{b_n}[/tex]
- Cauchuy-Shwarz dạng phân thức: với 2 dãy số thực [tex](a_1,a_2,...,a_n)[/tex] và [tex](b_1, b_2,...,b_n)[/tex] sao cho [tex]b_i> 0[/tex]. khi đó ta luôn có bất đẳng thức:
[tex]\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+...+\frac{a_n^2}{b_n}\geq \frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{b_1+b_2+...+b_n}[/tex]
dấu bằng xảy ra khi [tex]\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=...=\frac{a_n}{b_n}[/tex]
- Dạng vectơ: [tex]\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\leq a.b[/tex]
dấu bằng xảy ra khi [tex]\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}[/tex] cùng hướng.
III. Bất đẳng thức Minkowski
- Dạng tổng quát của bất đẳng thức Minkowski: cho 2 dãy số thực [tex](a_1,a_2,...,a_n)[/tex] và [tex](b_1,b_2,...,b_n)[/tex] ta luôn có bất đẳng thức sau:
[tex]\sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}+...+\sqrt{a_n^2+b_n^2}\geq \sqrt{(a_1+a_2+...+a_n)^2+(b_1+b_2+...+b_n)^2}[/tex]
dấu bằng xảy ra khi [tex]\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=...=\frac{a_n}{b_n}[/tex]
- Dạng vectơ: với các vectơ [tex]\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},...,\overrightarrow{a_n}[/tex] ta luôn có:
[tex]|\overrightarrow{a_1}|+|\overrightarrow{a_2}|+...+|\overrightarrow{a_n}|\geq |\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+...+\overrightarrow{a_n}|[/tex]
dấu bằng xảy ra khi tất cả vecto trên đều cùng hướng.
