Cho $x,y,z >0$ và $x+y+z \le \dfrac{3}2$. Chứng minh $\sqrt{x^2 + \dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}} + \sqrt{ z^2 + \dfrac{1}{z^2}} \ge \dfrac{3}2 \sqrt{17}$
Help me!!
Dễ dàng cm đc
$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge \sqrt{(a+b)^2+(c+d)^2}\: \forall a,b,c,d$
$\sqrt{x^2 + \dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}} + \sqrt{ z^2 + \dfrac{1}{z^2}} \ge \sqrt{(x+y)^2+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2}+\sqrt{ z^2 + \dfrac{1}{z^2}}$
$\ge \sqrt{(x+y+z)^2+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}$
$\ge \sqrt{(x+y+z)^2+\left(\dfrac{9}{x+y+z}\right)^2}$
Đặt $t=(x+y+z)^2; 0<t\le \dfrac{9}{4}$
$t+\dfrac{81}{t}=16t+\dfrac{81}{t}-15t\ge 72-\dfrac{135}{4}=\dfrac{153}{4}$
$\Rightarrow \sqrt{x^2 + \dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}} + \sqrt{ z^2 + \dfrac{1}{z^2}} \ge \dfrac{3}2 \sqrt{17}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\dfrac{1}{2}$
Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé <3
Ngoài ra em tham khảo thêm kiến thức tại topic này nhé:
https://diendan.hocmai.vn/threads/on-thi-hk-ham-so-phuong-trinh-luong-giac.844961/
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
