Bất đẳng thức Bunhiacopxki.

[Nguyễn Hiếu Nghĩa]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho a,b,c>0, a+b+c=1. CMR a/(1-b+a)+b/(1+c-b)+c/(1+a-c)>=1.
Bài 2: Cho x,y,z>=1, 1/x+1/y+1/z=2. CMR căn (x+y+z) >= căn(x-1) + căn (y-1)+ căn (z-1)
Bài 3: Cho a,b,c>0, a+b+c=3. CMR (a^2)/(a+2.b^2)+(b^2)/(b+2.c^2)+(c^2)/(c+2.a^2) >=1
Bài 4: Cho a,b,c>=0, abc=1. CMR 1/(2+a)+1/(2+b)+1/(2+c) <= 1

 

[Quang Trungg]

Bài 1: Cho a,b,c>0, a+b+c=1. CMR a/(1-b+a)+b/(1+c-b)+c/(1+a-c)>=1.
Bài 2: Cho x,y,z>=1, 1/x+1/y+1/z=2. CMR căn (x+y+z) >= căn(x-1) + căn (y-1)+ căn (z-1)
Bài 3: Cho a,b,c>0, a+b+c=3. CMR (a^2)/(a+2.b^2)+(b^2)/(b+2.c^2)+(c^2)/(c+2.a^2) >=1
Bài 4: Cho a,b,c>=0, abc=1. CMR 1/(2+a)+1/(2+b)+1/(2+c) <= 1

Bài 1:
ad bđt: a²/x+b²/y+c²/z ≥ (a+b+c)²/(x+y+z) (**)
với x, y, z > 0; dấu '=' khi a/x = b/y = c/z
- - -
từ gt ta có: 0 < a, b, c < 1 => 1+b-a, 1+c-a, 1+a-c > 0, ad bđt (**) ta có:
P = a/(1+b-a) + b/(1+c-b) + c/(1+a-c)
P = a²/(a+ab-a²) + b²/(b+bc-b²) + c²/(c+ca-c²)
P ≥ (a+b+c)² /(a+b+c + ab+bc+ca -a²-b²-c²)
p ≥ 1/ (1 + ab+bc+ca -a²-b²-c²) (♥)

ta có bđt cơ bản a²+b²+c² ≥ ab+bc+ca
=> ab+bc+ca - a²-b²-c² ≤ 0 => a+b+c + ab+bc+ca - a²-b²-c² ≤ a+b+c
=> 1 + ab+bc+ca - a²-b²-c² ≤ 1
đồng thời ta có: 0 < a² ≤ a ; 0 < b² ≤ b ; 0 < c² ≤ c
=> a²+b²+c² ≤ a+b+c = 1 => 1 - a²-b²-c² ≥ 0
=> 1 + ab+bc+ca - a²-b²-c² ≥ 0

tóm lại ta có: 0 < 1 + ab+bc+ca - a²-b²-c² ≤ 1
=> 1/ (1 + ab+bc+ca -a²-b²-c²) ≥ 1 thay vào (♥)
P ≥ 1/ (1 + ab+bc+ca -a²-b²-c²) ≥ 1 ; dấu '=' khi a = b = c = 1/3
----------
cm (**): với x, y, z > 0 ta có:
a²/x + b²/y ≥ (a+b)²/(x+y) (*)
(*) <=> a².y(x+y) + b²x(x+y) ≥ (a+b)²xy
<=> a²y² + b²x² - 2abxy ≥ 0 <=> (ay-bx)² ≥ 0 bđt đúng
dấu '=' khi a/x = b/y
ad (*) ta được:
a²/x+b²/y+c²/z ≥ (a+b)²/(x+y) + c²/z ≥ (a+b+c)²/(x+y+z)
(**) được cm, dấu '=' khi a/x = b/y = c/z
#st