Bất Đẳng Thức - Bài Viết 180 của tôi

[bigbang195]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1 : cho a,b,c là các số dương,abc=2. CM :
[TEX]a^3+b^3+c^3 \geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{b+c}+c\sqrt{a+b}[/TEX]

 

[bigbang195]

Bài 2 :a và b là 2 số dương và a+b=1 .CM:

[TEX]\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1} \geq \frac{1}{3}[/TEX]:khi (54)::khi (54)::khi (54)::khi (54)::khi (54)::khi (54)::khi (54):

 

[bigbang195]

6 Bài nữa các bạn cũng Suy Nghĩ Nhá

 

[bigbang195]

Bài 1.Cho [TEX]a,b,c \ge 0[/TEX]. Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt {\frac{{ab + bc + ca}}{3}} [/TEX]

Bài 2. Với [TEX]x,y,z,t[/TEX] là các số thực dương thoả [tex]xyzt = 1[/tex], chứng minh rằng:

[TEX]\frac {1}{{x^3 (yz + zt + ty)}} + \frac {1}{{y^3 (xz + zt + tx)}} + \frac {1}{{z^3 (xy + tx + yt)}} +\frac {1}{{t^3 (yz + zx + xy)}} \ge \frac {4}{3}[/TEX]

Bài 3 : Cho 3 số dương a, b, c có tích bằng 1. Cmr: [TEX]\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\leq1[/TEX]

Bài 4 :a,b,c dương CM
[tex]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+ \frac{c^2}{a} \ge \frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}[/tex]

Bài 5 :CHo [TEX]a,b,c \geq 0[/TEX] thỏa [TEX]a^3+b^3+c^3=3[/TEX]. CHứng minh rằng:
[TEX]3(ab+bc+ca)-abc \leq 8[/TEX]

Bài 6 :Bài :Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] thỏa [TEX]ab+bc+ca \geq 1[/TEX].


Chứng minh:

[TEX]\frac{a^3}{b^2+1}+\frac{b^3}{c^2+1}+\frac{c^3}{a^2+1} \geq \frac{\sqrt{3}}{4}[/TEX]

Bài 7 : Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] thỏa [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Chứng minh

[TEX]\frac{a^2}{b^2\sqrt{1+a}}+\frac{b^2}{c^2\sqrt{1+b}}+\frac{c^2}{a^2\sqrt{1+c}} \geq \frac{3}{\sqrt{2}}[/TEX]

Bài 8. Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] thỏa [TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX]. Chứng minh:

[TEX]\frac{a^4}{b}+\frac{b^4}{c}+\frac{c^4}{a}+15 \geq 6(ab+bc+ca)[/TEX]

Bài 9:Cho a,b,c,d dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{d^2}+ \frac{d^2}{a^2}\geq \frac{a+b+c+d}{\sqrt[4]{abcd}}[/TEX]

Bài 10 :[TEX]ab + bc + ca = abc[/TEX]. CMR

[TEX]\frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}+\frac{b^4+c^4}{bc(b^3+c^3)}+\frac{c^4+a^4}{ca(c^3+a^3)}\geq1[/TEX]

Cho [TEX]0 \le a \le 1; 0 \le b \le 1; 0 \le c \le 1[/TEX]
Chứng minh: [TEX]\frac{a}{{b + c + 1}} + \frac{b}{{a + c + 1}} + \frac{c}{{b + a + 1}} + \left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right) \le 1[/TEX]
:khi (13)::khi (13)::khi (13)::khi (13)::khi (13)::khi (13)::khi (13)::khi (13)::khi (13)::khi (13)::khi (13)::khi (13)::khi (13)::khi (13):

 

[havy_204]

6 Bài nữa các bạn cũng Suy Nghĩ Nhá

Chém con đầu tiên,béo bở quá,thank cho bigbang95 nà @};-

F=[TEX]\frac{yz\sqrt{x-1}+zx.\sqrt{y-2}+xy.\sqrt{z-3}}{xyz}[/TEX]

ĐKXD: x\geq1,y\geq2,z\geq3

Rút gọn F ta dc;

[TEX]\frac{\sqrt{x-1}}{x}[/TEX]+[TEX]\frac{\sqrt{y-2}}{y}[/TEX]+[TEX]\frac{\sqrt{z-3}}{z}[/TEX]

Ta lại có:

[TEX]\sqrt{x-1}[/TEX]\leq[TEX]\frac{x-1+1}{2}[/TEX]

\Rightarrow[TEX]\frac{\sqrt{x-1}}{x}[/TEX]\leq[TEX]\frac{1}{2}[/TEX]

Tương tự :

[TEX]\frac{\sqrt{y-2}}{y}[/TEX]\leq[TEX]\frac{1}{2.\sqrt{2}}[/TEX]

[TEX]\frac{\sqrt{z-3}}{z}[/TEX]\leq[TEX]\frac{1}{2.\sqrt{3}}[/TEX]

\RightarrowF \leq[TEX]\frac{1}{2}[/TEX].[TEX](1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}[/TEX]

MaX F= [TEX]\frac{1}{2}[/TEX].[TEX](1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}[/TEX]
Dấu = xảy ra \Leftrightarrow
khi x=2
y=4
z=6
>>>>>>>>>>>OK>>>>>>>>>>>>>@};-

 

[vansang95]

Mọi người bắt tay vào thanks cho tác giả công đánh máy đi nào
6.Làm bài dễ trước đã
Ta có:
[TEX](a+1)^2\geq4a[/TEX]
[TEX](b+1)^2\geq4b[/TEX]
[TEX](c+1)^2\geq4c[/TEX]
\Rightarrow [TEX](a+1)^2(b+1)^2(c+1)^2\geq64abc[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](a+1)(b+1)(c+1)\geq8[/TEX]
2.Cái này dễ quá
[TEX] \frac{a^2}{b+1}+\frac{b^2}{a+1}+\geq\frac{(a+b)^2}{a+b+2}=\frac{1}{3}[/TEX]

 

[havy_204]

8) Áp dụng BDT cauchy cho 2 số hok âm ta dc:
1+a\geq2.[TEX]\sqrt{a}[/TEX]----(1)
1+b\geq2.[TEX]\sqrt{b}[/TEX]----(2)
1+c\geq2.[TEX]\sqrt{c}[/TEX]-----(3)
Nhân 91) (2) (3) \Rightarrowdpcm

>>>>>>dễ xơi trước>>>>>>>

 

[vansang95]

Tiếp
[TEX] \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c[/TEX]
Ta có:
[TEX] a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\geq 1[/TEX]
hay [TEX]\frac{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}{ab+bc+ca}\geq a+b+c[/TEX]
\Rightarrow
[TEX] \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c\geq\frac{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}{ab+bc+ca}[/TEX]

 

[havy_204]

Bài 3 : Cho 3 số dương a, b, c có tích bằng 1. Cmr:

Giải:
Để ý thấy :

[TEX]x^3+y^3[/TEX]=[TEX](x+y)(x^2-xy+y^2)[/TEX]\geq(x+y)xy

nên 1+[TEX]x^3+y^3[/TEX]\geq1+(x+y)xy\geq[TEX]\frac{x+y+z}{z}[/TEX]

\Rightarrow[TEX]\frac{1}{1+x^3+y^3}[/TEX]\leq[TEX]\frac{z}{x+y+z}[/TEX]----(1)

Tương tự ta cũng có:

[TEX]\frac{1}{y^3+z^3}[/TEX]\leq[TEX]\frac{x}{x+y+z}[/TEX]----(2)

[TEX]\frac{1}{1+z^3+x^3}[/TEX]\leq[TEX]\frac{y}[x+y+z}[/TEX]------(3)

Cộng (1) (2) (3) ta dc dpcm
>>>>>>OK>>>>>>>>>>>>>

 

[bigbang195]

Tiếp
[TEX] \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c[/TEX]
Ta có:
[TEX] a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\geq 1[/TEX]
hay [TEX]\frac{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}{ab+bc+ca}\geq a+b+c[/TEX]
\Rightarrow
[TEX] \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c\geq\frac{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}{ab+bc+ca}[/TEX]

Bắc Cầu Sai kìa bạn :d:d:d

 

[bigbang195]

Mình Xin Tự NGuyện Làm người châm bài cho các bạn :khi (58)::khi (58)::khi (58)::khi (58)::khi (58)::khi (58)::khi (58)::khi (58)::khi (58)::khi (58)::khi (58)::khi (58)::khi (58):

 

[vansang95]

Sai chỗ nào vậy ban

 

[bigbang195]

Bài 1 : cho a,b,c là các số dương,abc=2. CM :
[TEX]a^3+b^3+c^3 \geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{b+c}+c\sqrt{a+b}[/TEX]
ko ai Làm bài này à

 

[bigbang195]

Bài 1.Cho [TEX]a,b,c \ge 0[/TEX]. Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt {\frac{{ab + bc + ca}}{3}} [/TEX]

Bài 2. Với [TEX]x,y,z,t[/TEX] là các số thực dương thoả [tex]xyzt = 1[/tex], chứng minh rằng:

[TEX]\frac {1}{{x^3 (yz + zt + ty)}} + \frac {1}{{y^3 (xz + zt + tx)}} + \frac {1}{{z^3 (xy + tx + yt)}} +\frac {1}{{t^3 (yz + zx + xy)}} \ge \frac {4}{3}[/TEX]

Bài 3 : Cho 3 số dương a, b, c có tích bằng 1. Cmr: [TEX]\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\leq1[/TEX]

Bài 4 :a,b,c dương CM
[tex]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+ \frac{c^2}{a} \ge \frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}[/tex]

Bài 5 :CHo [TEX]a,b,c \geq 0[/TEX] thỏa [TEX]a^3+b^3+c^3=3[/TEX]. CHứng minh rằng:
[TEX]3(ab+bc+ca)-abc \leq 8[/TEX]

Bài 6 :Bài :Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] thỏa [TEX]ab+bc+ca \geq 1[/TEX].


Chứng minh:

[TEX]\frac{a^3}{b^2+1}+\frac{b^3}{c^2+1}+\frac{c^3}{a^2+1} \geq \frac{\sqrt{3}}{4}[/TEX]

Bài 7 : Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] thỏa [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Chứng minh

[TEX]\frac{a^2}{b^2\sqrt{1+a}}+\frac{b^2}{c^2\sqrt{1+b}}+\frac{c^2}{a^2\sqrt{1+c}} \geq \frac{3}{\sqrt{2}}[/TEX]

Bài 8. Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] thỏa [TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX]. Chứng minh:

[TEX]\frac{a^4}{b}+\frac{b^4}{c}+\frac{c^4}{a}+15 \geq 6(ab+bc+ca)[/TEX]

Bài 9:Cho a,b,c,d dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{d^2}+ \frac{d^2}{a^2}\geq \frac{a+b+c+d}{\sqrt[4]{abcd}}[/TEX]

Bài 10 :[TEX]ab + bc + ca = abc[/TEX]. CMR

[TEX]\frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}+\frac{b^4+c^4}{bc(b^3+c^3)}+\frac{c^4+a^4}{ca(c^3+a^3)}\geq1[/TEX]

Cho [TEX]0 \le a \le 1; 0 \le b \le 1; 0 \le c \le 1[/TEX]
Chứng minh: [TEX]\frac{a}{{b + c + 1}} + \frac{b}{{a + c + 1}} + \frac{c}{{b + a + 1}} + \left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right) \le 1[/TEX]
:khi (13)::khi (13)::khi (13)::khi (13)::khi (13)::khi (13)::khi (13)::khi (13)::khi (13)::khi (13)::khi (13)::khi (13)::khi (13)::khi (13):

Làm mẫu bài 1 nhá
ta chuẩn hóa [TEX]ab+bc+ac=3[/TEX] thì ta cần Cm Tiếp [TEX]\frac{a+b+c}{3}\geq\sqrt{\frac{3}{3}}=1[/TEX]
Tức cần CM : [TEX]a+b+c\geq3[/TEX] Bất đẳng thức này đúng vì [TEX](a+b+c)^2\geq3(ab+bc+ac)=9[/TEX]

 

[bigbang195]

Inequalities and Applications
Bắt đầu từ 1/12/2009
Mình mở topic này nhằm giúp đỡ các bạn về BĐT, và đồng thời mình còn tổng hợp các bài toán ở đây vào 1 file để sau đó mọi người có thể dễ xem hơn, mong các bạn tham gia , đưa ra những cách giải mà mình biết để file đó được hay hơn, nhiều điều bổ ích hơn, mỗi ngày mình chỉ post 1 bài, tuy là ít nhưng mỗi bài đó sẽ chứa 1 cái gì đó mà các bạn có thể chưa tìm ra những cách hay, lời giải đẹp. Mong các bạn tham gia nhiệt tình .

Các bạn chú ý: Ko giới hạn cách giải, nếu ai đã post 1 bài cho ngày hôm nay thì người khác ko nên post nữa để nhằm 1 mục đích khác, các bạn nên giải chỉ tiết để bài viết đó hay hơn và chỉ post về bất đẳng thức và các ứng dụng ko post thứ khác. Mong các bạn thông cảm.
Nêu có ý kiến gì các bạn cứ gửi tin nhắn qua hocmai.vn hoặc nick:taolavanson
:khi (189)::khi (189)::khi (189)::khi (189)::khi (189)::khi (189)::khi (189):

 

[bigbang195]

Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm được phát biểu như sau:

Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.
* Với 2 số:

[TEX] \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}[/TEX]

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [TEX]a = b[/TEX]


* Với n số:

[TEX] \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1.x_2. ... .x_n}[/TEX]

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [TEX]x_1 = x_2 = ... = x_n\,[/TEX]

Mục lục
Trung bình có hệ số

Cho n số[TEX]x_1, x_2, ..., x_n \geq 0[/TEX]
và các hệ số [TEX]a_1,a_2,....a_n>0[/TEX]

Đặt[TEX] \alpha = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n [/TEX]

Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân cũng đúng nếu hai giá trị trung bình có hệ số, như sau:

[TEX] \frac{\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \cdots + \alpha_n x_n}{\alpha} \geq \sqrt[\alpha]{x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \cdots x_n^{\alpha_n}}[/TEX]

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi[TEX] x_1 = x_2 = \cdots = x_n[/TEX]
[sửa] Với các loại trung bình khác

Trung bình điều hòa ≤ trung bình nhân ≤ trung bình cộng

[TEX]\frac {n} {\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}} \leq \sqrt[n]{x_1x_2...x_n} \leq \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} [/TEX]

 

[bigbang195]

4 Bài Bất Đẳng Thức cho các bạn !!!!

Bài 1 : cho [TEX]a,b,c \ge 0.[/TEX], thoả mãn [TEX]ab+bc+ca=3.[/TEX]chứng minh rằng:

[TEX]\frac{1}{{{a^2} + 1}} + \frac{1}{{{b^2} + 1}} + \frac{1}{{{c^2} + 1}} \ge \frac{3}{2}[/TEX]

Bài 2: cho [TEX]a,b,c >0[/TEX].CMR

[TEX]\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} \ge \frac{{3({a^3} + {b^3} + {c^3})}}{{2({a^2} + {b^2} + {c^2})}}[/TEX]

Bài 3 Cho [TEX]a,b,c \ge 0[/TEX] thoả mãn [TEX]a^2+b^2+c^2=1[/TEX].CMR

[TEX]\frac{{bc}}{{{a^2} + 1}} + \frac{{ca}}{{{b^2} + 1}} + \frac{{ab}}{{{c^2} + 1}} \le \frac{3}{4}[/TEX]

Bài 4 cho [TEX]x,y,z \ge 0[/TEX] thoả mãn[TEX] x+y+z=3[/TEX]. CMR

a) [TEX]\frac{x}{{xy + 1}} + \frac{y}{{yz + 1}} + \frac{z}{{zx + 1}} \ge \frac{3}{2}[/TEX]

b)[TEX]\frac{x}{{{y^2} + 3}} + \frac{y}{{{z^2} + 3}} + \frac{x}{{{y^2} + 3}} \ge \frac{3}{4}[/TEX]

 

[havy_204]

Giải từ từ nha:

5.Thay [TEX]a^2+b^2+c^2[/TEX]=1

vào pt ta có:

[TEX](1+\frac{1}{a^2}[/TEX].[TEX](1+\frac{1}{b^2})[/TEX].[TEX](1+\frac{1}{c^2}[/TEX]\geq64

=[TEX]\frac{a^2+1}{a^2}[/TEX].[TEX]\frac{b^2+1}{b^2}[/TEX].[TEX]\frac{c^2+1}{c^2}[/TEX]\geq64

=[TEX](a^2+a^2+b^2+c^2).(b^2+b^2+c^2+a^2).(c^2+c^2+b^2+a^2)[/TEX]
\geq64[TEX]a^2.b^2.c^2[/TEX]

Áp dugn BDT cauchy cho 4 số hok âm ta dc:

[TEX]a^2+a^2+b^2+c^2[/TEX]\geq[TEX]4^4.\sqrt{a^4.b^2.c^2}[/TEX]

=4a.[TEX]\sqrt{bc}[/TEX]----------(1)

Tương tự :

[TEX]b^2+b^2+a^2+c^2[/TEX]\geq4b.[TEX]\sqrt{ac}[/TEX]---(2)

[TEX]c^2+c^2+b^2+a^2[/TEX]\geq4c.[TEX]\sqrt{ab}[/TEX]---------(3)

Nhân (1) (2) (3) ta => dpcm

>>>>>>OKIE>>>>>>>>>>>>>>>@};-

 

[havy_204]

Cho

Chứng minh:

Không làm mất tính tổng quát

Giả sử trong 3 số :a,b.c, thì a là số lớn nhất.Áp dụng BDT cauchy cho số dương ta dc:

[TEX]\frac{(1-b)+(1-c)+(b+c+1)}{3}[/TEX]+1\geq[TEX]^3.\sqrt{(1-b)+(1-c)(1-a)}[/TEX]

\Rightarrow(1-b)(1-c)\leq[TEX]\frac{1}{1+b+c}[/TEX]

nên (1-b)(1-c)(1-a)\leq[TEX]\frac{1-a}{1+b+c}[/TEX]-----------(*)

Tương tự ta cũng có:

[TEX]\frac{b}{1+a+c}[/TEX]\leq[TEX]\frac{b}{1+b+c}[/TEX]-----(1)

[TEX]\frac{c}{1+a+b}[/TEX]\leq[TEX]\frac{c}{1+b+c}[/TEX]----------(2)

[TEX]\frac{a}{1+b+c}[/TEX]\leq[TEX]\frac{a}{1+b+c}[/TEX]-----------(3)


Từ (*)(1) (2) (3)=>dpcm

>>>>>>>>>>>>okie>>>>>>>>>>>>>>>.

 

[nhanvip2]

Các bạn giải mấy bài này xem:
[TEX]3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x2 + y2. 4. a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : . b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab. 5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3. 6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b. 7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) [/TEX]