Toán Bất đẳng thức 9

[thanhhuyenta]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho x, y, z >0 và x+y+z=1006.CMR:$$A=\sqrt{2012x+\frac{(y-z)^2}{2}}+\sqrt{2012y+\frac{(z-x)^2}{2}}+\sqrt{2012z+\frac{(x-y)^2}{2}}< 2012\sqrt{2}$$
2.Cho
$$x,y,z\geq 0$$
và không đồng thời bằng không thỏa mãn $$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}=1$$
CMR: $$A=x+y+z+\frac{1}{x+y+z} \geq \dfrac{10}{3}$$
3.x,y,z>0.CMR $$4(x+y)(y+z)(z+x)\leq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})$$
4.ho a,b,c>0 và a+b+c=1
CMR:
$$A=\frac{ab}{c+ab}+\frac{ac}{b+ac}+\frac{bc}{a+bc}-\frac{1}{4abc}\leq -6$$
5.Cho a,b,c>0 và $$a+b\leq 1$$
CMR $$A=\frac{a^4}{(b-1)^3}+\frac{b^4}{(a-1)^3} \geq -1$$

 

[leminhnghia1]

1. Cho x, y, z >0 và x+y+z=1006.CMR:$$A=\sqrt{2012x+\frac{(y-z)^2}{2}}+\sqrt{2012y+\frac{(z-x)^2}{2}}+\sqrt{2012z+\frac{(x-y)^2}{2}}< 2012\sqrt{2}$$

Ta có: $(y-z)^2<(y+z)^2 \iff 4yz>0$ (luôn đúng)
$\sqrt{2012x+\dfrac{(y-z)^2}{2}}=\sqrt{2(x+y+z)x+\dfrac{(y-x)^2}{2}} <\sqrt{\dfrac{4x^2+4x(y+z)+(y+z)^2}{2}} \\ =\sqrt{\dfrac{(2x+y+z)^2}{2}}=\dfrac{2x+y+z}{\sqrt{2}}$

Thiết lập các bđt tương tự rồi cộng vào ta có:

$A<\dfrac{4(x+y+z)}{\sqrt{2}}=2012\sqrt{2}$ (đpcm)

 

[leminhnghia1]

3.x,y,z>0.CMR $$4(x+y)(y+z)(z+x)\leq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})$$

Bạn xem lại đề bài này thử xem bđt không hẳn đúng

với $x=y=z=1$ thì $VT>VP \ (32>12)$

Mấy cái bài CMR hình như thiếu vế sau rồi bn

 

[thanhhuyenta]

Bài 2,5
2.A>=10/3
5.A>=-1

 

[leminhnghia1]

2.Cho
$$x,y,z\geq 0$$
và không đồng thời bằng không thỏa mãn $$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}=1$$
CMR: $$A=x+y+z+\frac{1}{x+y+z} \geq \dfrac{10}{3}$$

Ta có: $1=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+2}+\dfrac{1}{z+3} \geq \dfrac{9}{x+y+z+6}$
$\iff x+y+z+6 \geq 9 \iff x+y+z \geq 3$

Ta có: $x+y+z+\dfrac{1}{x+y+z}=(x+y+z+\dfrac{9}{x+y+z})-\dfrac{8}{x+y+z} \geq 6-\dfrac{8}{3}=\dfrac{10}{3}$

Dấu "=" $\iff x=2;y=1;z=0$