Toán Bất đẳng thức 9

[thanhhuyenta]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Cho x,y>0 và x+y=1. CMR: $$A=\left ( x^2+\frac{1}{y^2} \right )\left ( y^2+\frac{1}{x^2} \right )\geq 18\frac{1}{16}$$
2.Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác
CMR
$$B=\frac{a}{\sqrt[3]{b^3+c^3}}+\frac{b}{\sqrt[3]{c^3+a^3}}+\frac{c}{\sqrt[3]{a^3+b^3}}< 2\sqrt[3]{4}$$
3.Cho a,b,c>0 và a+b+c=1
Cmr $$C=(a+\frac{1}{b})\left ( b+\frac{1}{c} \right )(c+\frac{1}{a}) \geq (\dfrac{10}{3})^3$$

 

[Cuprum]

Câu 1: Ta có: $A=(x^2+\frac{1}{x^2})(y^2+\frac{1}{y^2})=2+(x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2})$.
Lại có: $\frac{(x+y)^2}{4}\ge xy\implies (xy)^2\le \frac{1}{16}$.
$\implies A=2+(xy)^2+\frac{1}{(xy)^2}=2+[(xy)^2+\frac{1}{256(xy)^2}]+\frac{255}{256(xy)^2}$
$\ge 2+2\sqrt{\frac{1}{256}}+\frac{255*16}{256}=\frac{289}{16}=18\frac{1}{16}(dpcm)$.
Dấu $=$ xảy ra tại $x=y=\frac{1}{2}$

 

[leminhnghia1]

2.Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác
CMR
$$B=\frac{a}{\sqrt[3]{b^3+c^3}}+\frac{b}{\sqrt[3]{c^3+a^3}}+\frac{c}{\sqrt[3]{a^3+b^3}}< 2\sqrt[3]{4}$$

Hình như đề là nhỏ hơn $3\sqrt[3]{4}$
Ta có: $\dfrac{a}{\sqrt[3]{b^3+c^3}}=\dfrac{a}{\sqrt[3]{(b+c)[(b+c)^2-3bc]}} \leq \dfrac{a}{\sqrt[3]{(b+c)[(b+c)^2-\dfrac{3(b+c)^2}{4}]}}=\dfrac{a}{\sqrt[3]{\dfrac{(b+c)^3}{4}}}$
$=\dfrac{a\sqrt[3]{4}}{b+c} < \sqrt[3]{4}$ (vì $a<b+c)$

Thiết lập các bđt TT rồi cộng vào ta có:
$B<3\sqrt[3]{4}$

Dấu "=" không xảy ra

 

[thanhhuyenta]

Hình như đề là nhỏ hơn $3\sqrt[3]{4}$
Ta có: $\dfrac{a}{\sqrt[3]{b^3+c^3}}=\dfrac{a}{\sqrt[3]{(b+c)[(b+c)^2-3bc]}} \leq \dfrac{a}{\sqrt[3]{(b+c)[(b+c)^2-\dfrac{3(b+c)^2}{4}]}}=\dfrac{a}{\sqrt[3]{\dfrac{(b+c)^3}{4}}}$
$=\dfrac{a\sqrt[3]{4}}{b+c} < \sqrt[3]{4}$ (vì $a<b+c)$

Thiết lập các bđt TT rồi cộng vào ta có:
$B<3\sqrt[3]{4}$

Dấu "=" không xảy ra


Trong phần cm có sử dung bđt Cô-si 2 số và bđt cơ bản: $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \geq \dfrac{9}{x+y+z}$

$C=(abc+\dfrac{1}{abc})+(a+b+c+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}) \geq 2+(a+b+c+\dfrac{9}{a+b+c}) \geq 2+1+9=12$

Dấu "=" $\iff a=b=c=\dfrac{1}{3}$

E nhầm.câu 3 cm C>= (10/3)^3

 

[thanhhuyenta]

Câu 1: Ta có: $A=(x^2+\frac{1}{x^2})(y^2+\frac{1}{y^2})=2+(x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2})$.
Lại có: $\frac{(x+y)^2}{4}\ge xy\implies (xy)^2\le \frac{1}{16}$.
$\implies A=2+(xy)^2+\frac{1}{(xy)^2}=2+[(xy)^2+\frac{1}{256(xy)^2}]+\frac{255}{256(xy)^2}$
$\ge 2+2\sqrt{\frac{1}{256}}+\frac{255*16}{256}=\frac{289}{16}=18\frac{1}{16}(dpcm)$.
Dấu $=$ xảy ra tại $x=y=\frac{1}{2}$

Cảm ơn bạn!

 

[leminhnghia1]

3.Cho a,b,c>0 và a+b+c=1
Cmr $$C=(a+\frac{1}{b})\left ( b+\frac{1}{c} \right )(c+\frac{1}{a}) \geq (\dfrac{10}{3})^3$$

Ta có: $abc \leq \dfrac{(a+b+c)^3}{27} \leq \dfrac{1}{27}$

$C=(abc+\dfrac{1}{729abc})+\dfrac{728}{729abc}+(a+b+c+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}) \\ \geq \dfrac{2}{27}+\dfrac{728}{729.\dfrac{1}{27}}+(a+b+c+\dfrac{9}{a+b+c}) \\ \geq \dfrac{2}{27}+\dfrac{728}{27}+1+9=(\dfrac{10}{3})^3$


Dấu "=" $\iff a=b=c=\dfrac{1}{3}$

 

[thanhhuyenta]

Ta có: $abc \leq \dfrac{(a+b+c)^3}{27} \leq \dfrac{1}{27}$

$C=(abc+\dfrac{1}{729abc})+\dfrac{728}{729abc}+(a+b+c+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}) \\ \geq \dfrac{2}{27}+\dfrac{728}{729.\dfrac{1}{27}}+(a+b+c+\dfrac{9}{a+b+c}) \\ \geq \dfrac{2}{27}+\dfrac{728}{27}+1+9=(\dfrac{10}{3})^3$


Dấu "=" $\iff a=b=c=\dfrac{1}{3}$

Thank kiu a