Bất đẳng thức 3

H

hthtb22

Đây là lời giải mình sưu tầm được:
Không mất tính tổng quát, giả sử $c=min\left \{ a,b,c \right \}$. Ta có$$a(b-c)^{4}=a(b-c)(b-c)^{3}\le ab(b-c)^{3}$$
Hoàn toàn tương tự$$b(c-a)^{4}\le ab(a-c)^{3}$$
Kết hợp hai đánh giá trên ta có được$$a(b-c)^{4}+b(c-a)^{4}\le ab\left [ (a-c)^{3}+(b-c)^{3} \right]$$$$=ab(a+b-2c)\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca \right )$$$$\le ab(a+b+c)\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca \right )$$
Mặt khác,$$c(a-b)^{4}\le c(a-b)^{2}\left [ (a-b)^{2}+(a-c)(b-c) \right ]=c(a-b)^{2}\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca \right )$$$$\le c(a+b)(a+b+c)\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca \right )$$
Từ đó với chú ý $a+b+c=1$ suy ra$$a(b-c)^{4}+b(c-a)^{4}+c(a-b)^{4}\le \frac{1}{12}\left ( a+b+c \right )^{2}=\frac{1}{12}$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
$$(a,b,c)=( \frac{3-\sqrt{3}}{6},\frac{3+\sqrt{3}}{6},0 )$$ P/s: Lần sau em nhớ ghi rõ nguồn nhé. :)
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom