Toán 9 Bất đẳng thức 3 biến hoán vị

[Nguyễn Chi Xuyên]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

giúp mình bài này vs mình cảm ơn ạ

 

[2712-0-3]

View attachment 213419
giúp mình bài này vs mình cảm ơn ạ

Nguyễn Chi XuyênTrước hết ta có bổ đề (chứng minh bằng gì thì có nhiều cách, nhưng mà dễ lắm) đó là
[imath]a^3+b^3+c^3 \geq \dfrac{(a+b+c)^3}{9}[/imath]
Đặt trước [imath]a = (x+y+z) ( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}) \geq 9[/imath]
Ta biến đổi vế phải: [imath]= \dfrac{3}{2} (a - 3)[/imath]
Vế trái áp dụng bổ đề, ta có: [imath]VT \geq \dfrac{a^3}{81}[/imath]
Vậy ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức: [imath]\dfrac{a^3}{81} \geq \dfrac{3}{2}a - \dfrac{9}{2}[/imath]
Biến đổi tương đương, ta được: [imath](a-9)(2a^2 +18a- 81) \geq 0[/imath] (luôn đúng do [imath]a\geq 9[/imath])
Vậy dấu = xảy ra khi [imath]x=y=z[/imath]

Ngoài ra mời em tham khảo thêm tại: [Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức
---cách này k chắc đã hay lắm đâu hic @kido2006 thử đi xem có cách khác không ---

 

[kido2006]

Mình xin đóng góp thêm 1 lời giải khác có vẻ sẽ ngắn hơn @2712-0-3 nhưng không được tự nhiên lắm :vv

[imath](x^3+y^3+z^3)\left ( \dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3} \right )=\dfrac{(1+1+1)(x^3+y^3+z^3)\left ( \dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}+\dfrac{1}{x^3} \right )+(1+1+1)(x^3+y^3+z^3)\left ( \dfrac{1}{z^3}+\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3} \right )}{6}[/imath]
[imath]\geq^{Holder} \dfrac{\left ( \dfrac{x}{y}+ \dfrac{y}{z}+ \dfrac{z}{x} \right )^3+\left ( \dfrac{x}{z}+ \dfrac{y}{x}+ \dfrac{z}{y} \right )^3}{6}\geq ^{A-G}\dfrac{9\left ( \dfrac{x}{y}+ \dfrac{y}{z}+ \dfrac{z}{x} \right )+9\left ( \dfrac{x}{z}+ \dfrac{y}{x}+ \dfrac{z}{y} \right )}{6}=\dfrac{3}{2}\left ( \dfrac{x+z}{y}+\dfrac{z+y}{x}+\dfrac{y+x}{z} \right )[/imath]


Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức

 

[2712-0-3]

Mình xin đóng góp thêm 1 lời giải khác có vẻ sẽ ngắn hơn @2712-0-3 nhưng không được tự nhiên lắm :vv

[imath](x^3+y^3+z^3)\left ( \dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3} \right )=\dfrac{(1+1+1)(x^3+y^3+z^3)\left ( \dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}+\dfrac{1}{x^3} \right )+(1+1+1)(x^3+y^3+z^3)\left ( \dfrac{1}{z^3}+\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3} \right )}{6}[/imath]
[imath]\geq^{Holder} \dfrac{\left ( \dfrac{x}{y}+ \dfrac{y}{z}+ \dfrac{z}{x} \right )^3+\left ( \dfrac{x}{z}+ \dfrac{y}{x}+ \dfrac{z}{y} \right )^3}{6}\geq ^{A-G}\dfrac{9\left ( \dfrac{x}{y}+ \dfrac{y}{z}+ \dfrac{z}{x} \right )+9\left ( \dfrac{x}{z}+ \dfrac{y}{x}+ \dfrac{z}{y} \right )}{6}=\dfrac{3}{2}\left ( \dfrac{x+z}{y}+\dfrac{z+y}{x}+\dfrac{y+x}{z} \right )[/imath]


Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức

kido2006xài holder luôn á, tuyệt ^^

 

[2712-0-3]

Mình xin đóng góp thêm 1 lời giải khác có vẻ sẽ ngắn hơn @2712-0-3 nhưng không được tự nhiên lắm :vv

[imath](x^3+y^3+z^3)\left ( \dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3} \right )=\dfrac{(1+1+1)(x^3+y^3+z^3)\left ( \dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}+\dfrac{1}{x^3} \right )+(1+1+1)(x^3+y^3+z^3)\left ( \dfrac{1}{z^3}+\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3} \right )}{6}[/imath]
[imath]\geq^{Holder} \dfrac{\left ( \dfrac{x}{y}+ \dfrac{y}{z}+ \dfrac{z}{x} \right )^3+\left ( \dfrac{x}{z}+ \dfrac{y}{x}+ \dfrac{z}{y} \right )^3}{6}\geq ^{A-G}\dfrac{9\left ( \dfrac{x}{y}+ \dfrac{y}{z}+ \dfrac{z}{x} \right )+9\left ( \dfrac{x}{z}+ \dfrac{y}{x}+ \dfrac{z}{y} \right )}{6}=\dfrac{3}{2}\left ( \dfrac{x+z}{y}+\dfrac{z+y}{x}+\dfrac{y+x}{z} \right )[/imath]


Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức

kido2006nói chung câu này cz khá lỏng -)) , nhìn A-G kiểu kia cz dc :>