Toán 10 Bất Đẳng Thức 10 Chọn Lọc

[Hoa sẽ nở vào ngày người đến]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c >0 thỏa mãn a2+b2+c2=3, chứng minh rằng a2b+ b2c+c2a<3

 

[tiểu tuyết]

Áp dụng BĐT Bunhia copxiki ta có
$$(a^2b+b^2c+c^2a)^2\leq (a^2+b^2+c^2)^2(a+b+c)^2=9(a+b+c)^2$$ (1)
Mặt khác ta có $$(a+b+c)^2\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{3}=1$$(2)
Từ (1) và (2) $$=>(a^2b+b^2c+c^2a)^2\leq 9$$
=>ĐPCM

 

[TranPhuong27]

Áp dụng BĐT Bunhia copxiki ta có
$$(a^2b+b^2c+c^2a)^2\leq (a^2+b^2+c^2)^2(a+b+c)^2=9(a+b+c)^2$$ (1)
Mặt khác ta có $$(a+b+c)^2\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{3}=1$$(2)
Từ (1) và (2) $$=>(a^2b+b^2c+c^2a)^2\leq 9$$
=>ĐPCM

Hình như bạn nhầm? Bunhiacopxki đâu có dạng như này ?

 

[Lena1315]

Giả sử b nằm giữa a và c, dễ cm: $$a^2b+b^2c+c^2a\leq b(a^2+ac+c^2)$$
$$\rightarrow a^2b+b^2c+c^2a-abc\leq b(a^2+ac+c^2)-abc=b(a^2+c^2)$$
$$=2\sqrt{b^2.\frac{a^2+c^2}{2}.\frac{a^2+c^2}{2}}\leq 2\sqrt{\left ( \frac{b^2+2.\frac{a^2+c^2}{2}}{3} \right )^3}=2$$
$$\rightarrow a^2b+b^2c+c^2a \leq 2+abc \leq 2+\frac{(a+b+c)^3)}{27}=3$$