Bất đẳng thức 1

D

duynhan1

Đặt $a=2^x,\ b=2^y,\ c=2^z$ thì ta có: $a,\ b,\ c \in [1;2]$, ta quy về chứng minh: $$(a+b+c)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ) \le \frac{81}{8}$$
Hay cần phải chứng minh: $$\sum\limits_{cyc} \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) \le \frac{57}{8} $$
Không mất tính tổng quát giả sử c nằm giữa a và b thì ta có: $$(c-a)(c-b) \le 0 \Leftrightarrow c^2 + ab \le ca + cb \Rightarrow \begin{cases} \frac{c}{a} + \frac{b}{c} \le 1 + \frac{b}{a} \\ \frac{c}{b} + \frac{a}{c} \le 1 + \frac{a}{b} \end{cases} $$
Đến đây đặt $ t= \frac{a}{b} $ với điều kiện: $\frac12 \le t \le 2$ rồi khảo sát nhé ;).
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom