Toán 9 Bài toán về tam giác nội tiếp đường tròn

[Junery N]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Đường phân giác góc BAC cắt BC tại D, cắt đường tròn tâm O tại M và cắt tiếp tuyến của đường tròn tâm O kẻ từ B tại E. Gọi F là giao điểm của BM và AC. Chứng minh:
1. [tex]MC^2=MA.MD[/tex]
2. a. Tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn
b. Hai đường thẳng BC và EF song song với nhau
3. [tex]AM>\frac{AB+AC}{2}[/tex]

 

[Tungtom]

1. Ta có: $BAMC$ là tứ giác nội tiếp $(O)$
$=> \widehat{BAM}=\widehat{DCM}$.
Mà $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$($AM$ là phân giác $\widehat{BAC}$.
Xét $\Delta DCM$ và $\Delta CAM$:
$\widehat{CAM}=\widehat{DCM}(=\widehat{BAM}$
$\widehat{M}$ chung
$=>\Delta DCM \sim \Delta CAM(g-g)$
$=> \frac{MC}{MA}=\frac{MD}{MC}=\frac{DC}{AC}(*)=> MC^2=MA.MD$
2. a) $\widehat{EBF}$ là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung $BM$ của $(O)$
$=> \widehat{EBF}=\widehat{BAM}$
Mà $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$
$=> \widehat{EBF}=\widehat{CAM}$
$=> ABEF$ nội tiếp đường tròn.
b)$ABEF$ nội tiếp $=> \widehat{BFE}=\widehat{BAM}$(1)
$ \widehat{BAM}=\widehat{CAM}=\widehat{MBC}$(2)
(1)(2)=>$\widehat{BFE}\widehat{MBC}$
Hai góc ở vị trí so le trong nên $BC//EF$
3. Từ $(*)$( ở trên chỗ câu 1 á :v)$=>AM=\frac{MC.AC}{DC}$(3)
Theo tính chất đường phân giác:
$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$
$=> \frac{AB}{BD}=\frac{AC}{DC}=\frac{AB+AC}{BD+DC}=\frac{AB+AC}{BC}$
$=> DC=\frac{AC.BC}{AB+AC}$(4)
Thay (4) và (3):
$AM=\frac{MC.AC}{\frac{AC.BC}{AB+AC}}=(AB+AC). \frac{MC}{BC}$.
C/m được $\Delta MBC$ cân tại $M$.
Áp dụng BĐT tam giác: $BC<BM+MC=2MC$
$=> \frac{MC}{BC}>\frac{MC}{2MC}=\frac{1}{2}$.
Vậy $AM=(AB+AC). \frac{MC}{BC}>\frac{AB+AC}{2}$
:333333333