Toán 7 Bài toán về số thực

[Nguyễn Chi Xuyên]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

@kido2006
@Darkness Evolution

 

[kido2006]

View attachment 173810
@kido2006
@Darkness Evolution

1/ Áp dụng bđt cosi cho 2 số thực dương ta có [tex]\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2\sqrt{\frac{a.b}{b.a}}=2[/tex](đpcm)
2/ Áp dụng bđt cosi cho 2 số thực dương ta có
[tex]A=\frac{x^2}{y}+y+\frac{y^2}{x}+x\geq 2\sqrt{\frac{x^2.y}{y}}+2\sqrt{\frac{y^2.x}{x}}=2(x+y)=8[/tex]
Dấu = xảy ra khi x=y=2

P/s chứng minh cosi : [tex](a-b)^2\geq 0\Rightarrow a^2+b^2\geq 2ab;\forall a,b[/tex]
Trong trường hợp không có bình phương thì chỉ cần >0 là đc rồi

 

[Darkness Evolution]

View attachment 173810
@kido2006
@Darkness Evolution

Thêm cách lớp 7 (Biến đổi tương đương):
a) Xét [tex]\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}[/tex]
[tex]=\frac{a^2-ab-ab+b^2}{ab}=\frac{a(a-b)-b(a-b))}{ab}=\frac{(a-b)^2}{ab}\ge 0[/tex] .
(Do $(a-b)^2; ab \ge 0 \forall a;b >0$)
$\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \ge 2$
Dấu "$=$" xảy ra khi $a=b>0$
b) Ta có $(x-y)^2 \ge 0 \forall x;y>0$
$\Rightarrow x^2 +y^2-2xy \ge 0 \forall x;y>0$
$\Leftrightarrow x^2 +y^2 \ge 2xy \forall x;y>0$
$A=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}+x+y$
$=\frac{x^2+y^2}{y}+\frac{y^2+x^2}{x}$
$\ge \frac{2xy}{y}+\frac{2xy}{x}$
$=2x+2y=2(x+y)=8$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=2$