Bài toán về phép chia hết

[lytuti]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh với mọi m, n là số nguyên thì:
1) [TEX]n^3[/TEX]+11n chia hết cho 6
2) m.n.([TEX]m^2[/TEX]-[TEX]n^2[/TEX]) chia hết cho 3
3) n.(n+1).(2n+1) chia hết cho 6

 

[eye_smile]

1,+n lẻ thì ${n^3};11n$ đều lẻ \Rightarrow ${n^3}+11n$ chia hết cho 2
+n chẵn thì ${n^3}+11n$ dĩ nhiên chia hết cho 2
\Rightarrow ${n^3}+11n$ chia hết cho 2 với mọi n
Ta có: ${n^3}+11n=n({n^2}+11)$
+n chia hết cho 3 \Rightarrow ${n^3}+11n$ chia hết cho 3
+ n không chia hết cho 3 \Rightarrow ${n^2}$ chia 3 dư 1
\Rightarrow ${n^2}+11$ chia hết cho 3
\Rightarrow ${n^3}+11n$ chia hết cho 3

\Rightarrow ${n^3}+11n$ chia hết cho 3 với mọi n

Tóm lại: ${n^3}+11n$ chia hết cho 6 với mọi n

 

[eye_smile]

2,Nếu 1 trong 2 số m;n có 1 số chia hết cho 3 thì $mn({m^2}-{n^2})$ luôn chia hết cho 3
+Nếu cả 2 số đều k chia hết cho 3 thì ${m^2};{n^2}$ đều chia 3 dư 1
\Rightarrow ${m^2}-{n^2}$ chia hết cho 3
\Rightarrow đpcm

 

[eye_smile]

3,Do n;n+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2
\Rightarrow n(n+1)(2n+1) luôn chia hết cho 2
+n chia hết cho 3 thì n(n+1)(2n+1) chia hết cho 3
+n chia 3 dư 1 thì 2n+1 chia hết cho 3
\Rightarrow n(n+1)(2n+1) chia hết cho 3
+n chia 3 dư 2 thì n+1 chia hết cho 3
\Rightarrow n(n+1)(2n+1) chia hết cho 3

\Rightarrow đpcm