Toán 12 Bài toán về góc giữa 2 mặt phẳng

Thảo luận trong 'Phương pháp tọa độ trong không gian' bắt đầu bởi Tiến Phùng, 26 Tháng hai 2020.

Lượt xem: 68

  1. Tiến Phùng

    Tiến Phùng Cựu Cố vấn Toán Thành viên

    Bài viết:
    3,746
    Điểm thành tích:
    561
    Nơi ở:
    Hà Nội
    Trường học/Cơ quan:
    Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    * Công thức tính góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian:

    Ta dựa vào góc giữa 2 vecto pháp tuyến để tính góc giữa 2 mặt phẳng. Cho (P) có vtpt [tex]\overrightarrow{n_P}=(a;b;c)[/tex] , (Q) có vtptp [tex]\overrightarrow{n_Q}=(d;e;f)[/tex]

    => Góc giữa (P) và (Q) là góc giữa [TEX](\overrightarrow{n_P}; \overrightarrow{n_Q})[/TEX]

    Gọi [tex]\alpha[/tex] là góc giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q).

    Áp dụng công thức cos góc giữa 2 vecto ta có:
    [tex]cos(\overrightarrow{n_P}; \overrightarrow{n_Q})=\frac{\overrightarrow{n_P} .\overrightarrow{n_Q}}{|\overrightarrow{n_P}|| \overrightarrow{n_Q}|}=\frac{ad+be+cf}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{d^2+e^2+f^2}}[/tex]

    Tuy nhiên góc giữa 2 mp luôn nằm trong đoạn [TEX0^o;90^o[/TEX], nên ta luôn có:
    [tex]cos\alpha\geq 0[/tex]

    Do đó công thức tính cos góc giữa (P) và (Q) là:
    [tex]cos\alpha=\frac{|ad+be+cf|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{d^2+e^2+f^2}}[/tex]

    Từ kết của này ta lấy arccos là ra góc cần tìm

    * Một số kết quả:
    + Góc giữa (P) và (Q) max khi [TEX]cos \alpha[/TEX] min.
    + Góc giữa (P) và (Q) min khi [TEX]cos \alpha[/TEX] max.

    Đây là do tính chất giá trị của hàm cos trong khoảng [TEX]0^o[/TEX] đến [TEX]90^o[/TEX]

    * Bài tập:
    1.
    Tính góc giữa 2 mặt phẳng: [TEX](P):-x+2y+z+5=0[/TEX] và (Q): [TEX]x+y+2z+8=0[/TEX]

    Giải: ta có: [TEX]\overrightarrow{n_P} =(-1;2;1)[/TEX], [TEX]\overrightarrow{n_Q}=(1;1;2) [/TEX]

    Gọi [TEX]\alpha[/TEX] là góc giữa (P) và (Q). Khi đó:
    [tex]cos\alpha =\frac{|-1.1+2.1+1.2|}{\sqrt{(-1)^2+2^2+1^2}.\sqrt{1^2+1^2+2^2}}=\frac{1}{2}[/tex]

    =>[TEX]\alpha = 60^o[/TEX]
    Vậy góc giữa (P) và (Q) là [TEX]60^o[/TEX]

    2. Tìm m để góc giữa (P): [TEX]x+y+z+3=0[/TEX] và (Q): [TEX]mx+2y+mz+5=0[/TEX] bằng [TEX]60^o[/TEX]

    Giải: Ta có [TEX] \overrightarrow{n_P} = (1;1;1)[/TEX], [TEX]\overrightarrow{n_Q} = (m;2;m) [/TEX]

    Gọi [TEX]\alpha[/TEX] là góc giữa (P) và (Q). Khi đó:
    [tex]cos\alpha =\frac{|m+2+m|}{\sqrt{1+1+1}.\sqrt{m^2+4+m^2}}=\frac{|2m+2|}{\sqrt{3(2m^2+4)}}[/tex]

    [TEX]\alpha = 60^o=>cos \alpha = 1/2[/TEX]
    =>[tex]\frac{|2m+2|}{\sqrt{3(2m^2+4)}}=\frac{1}{2}<=>2|2m+2|=\sqrt{3(2m^2+4)}<=>16m^2+32m+16=6m^2+12[/tex]

    <=>[TEX]5m^2+16m+2=0[/TEX]
    <=>[tex]m=\frac{-8+\sqrt{54}}{5}[/tex] hoặc [tex]m=\frac{-8-\sqrt{54}}{5}[/tex]

    3. Tìm m để góc giữa (P): [TEX]mx+y+z+3=0[/TEX] và (Q): [TEX]-x+my+mz+5=0[/TEX] nhỏ nhất.

    Giải: [tex]\overrightarrow{n_P} = (m;1;1); \overrightarrow{n_Q} = (-1;m;m)[/tex]

    Gọi [TEX]\alpha[/TEX] là góc giữa (P) và (Q). Khi đó:
    [tex]cos\alpha =\frac{|m|}{\sqrt{(m^2+2)(2m^2+1)}}=\frac{|m|}{\sqrt{2m^4+5m^2+2}}=\frac{1}{\sqrt{2m^2+5+\frac{2}{m^2}}}[/tex]

    Góc [TEX]\alpha[/TEX] nhỏ nhất khi [TEX]cos\alpha[/TEX] đạt max.
    Mà: [tex]2m^2+5+\frac{2}{m^2}\geq 5+2\sqrt{4}=9[/tex]
    => [tex]cos\alpha \leq \frac{1}{\sqrt{9}}=\frac{1}{3}[/tex]

    Dấu "=" khi [TEX]m^4=1<=>m=1[/TEX] hoặc [TEX]m=-1[/TEX]
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->