- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,705
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
* Công thức tính góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian:
Ta dựa vào góc giữa 2 vecto pháp tuyến để tính góc giữa 2 mặt phẳng. Cho (P) có vtpt [tex]\overrightarrow{n_P}=(a;b;c)[/tex] , (Q) có vtptp [tex]\overrightarrow{n_Q}=(d;e;f)[/tex]
=> Góc giữa (P) và (Q) là góc giữa [TEX](\overrightarrow{n_P}; \overrightarrow{n_Q})[/TEX]
Gọi [tex]\alpha[/tex] là góc giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q).
Áp dụng công thức cos góc giữa 2 vecto ta có:
[tex]cos(\overrightarrow{n_P}; \overrightarrow{n_Q})=\frac{\overrightarrow{n_P} .\overrightarrow{n_Q}}{|\overrightarrow{n_P}|| \overrightarrow{n_Q}|}=\frac{ad+be+cf}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{d^2+e^2+f^2}}[/tex]
Tuy nhiên góc giữa 2 mp luôn nằm trong đoạn [TEX0^o;90^o[/TEX], nên ta luôn có:
[tex]cos\alpha\geq 0[/tex]
Do đó công thức tính cos góc giữa (P) và (Q) là:
[tex]cos\alpha=\frac{|ad+be+cf|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{d^2+e^2+f^2}}[/tex]
Từ kết của này ta lấy arccos là ra góc cần tìm
* Một số kết quả:
+ Góc giữa (P) và (Q) max khi [TEX]cos \alpha[/TEX] min.
+ Góc giữa (P) và (Q) min khi [TEX]cos \alpha[/TEX] max.
Đây là do tính chất giá trị của hàm cos trong khoảng [TEX]0^o[/TEX] đến [TEX]90^o[/TEX]
* Bài tập:
1. Tính góc giữa 2 mặt phẳng: [TEX](P):-x+2y+z+5=0[/TEX] và (Q): [TEX]x+y+2z+8=0[/TEX]
Giải: ta có: [TEX]\overrightarrow{n_P} =(-1;2;1)[/TEX], [TEX]\overrightarrow{n_Q}=(1;1;2) [/TEX]
Gọi [TEX]\alpha[/TEX] là góc giữa (P) và (Q). Khi đó:
[tex]cos\alpha =\frac{|-1.1+2.1+1.2|}{\sqrt{(-1)^2+2^2+1^2}.\sqrt{1^2+1^2+2^2}}=\frac{1}{2}[/tex]
=>[TEX]\alpha = 60^o[/TEX]
Vậy góc giữa (P) và (Q) là [TEX]60^o[/TEX]
2. Tìm m để góc giữa (P): [TEX]x+y+z+3=0[/TEX] và (Q): [TEX]mx+2y+mz+5=0[/TEX] bằng [TEX]60^o[/TEX]
Giải: Ta có [TEX] \overrightarrow{n_P} = (1;1;1)[/TEX], [TEX]\overrightarrow{n_Q} = (m;2;m) [/TEX]
Gọi [TEX]\alpha[/TEX] là góc giữa (P) và (Q). Khi đó:
[tex]cos\alpha =\frac{|m+2+m|}{\sqrt{1+1+1}.\sqrt{m^2+4+m^2}}=\frac{|2m+2|}{\sqrt{3(2m^2+4)}}[/tex]
[TEX]\alpha = 60^o=>cos \alpha = 1/2[/TEX]
=>[tex]\frac{|2m+2|}{\sqrt{3(2m^2+4)}}=\frac{1}{2}<=>2|2m+2|=\sqrt{3(2m^2+4)}<=>16m^2+32m+16=6m^2+12[/tex]
<=>[TEX]5m^2+16m+2=0[/TEX]
<=>[tex]m=\frac{-8+\sqrt{54}}{5}[/tex] hoặc [tex]m=\frac{-8-\sqrt{54}}{5}[/tex]
3. Tìm m để góc giữa (P): [TEX]mx+y+z+3=0[/TEX] và (Q): [TEX]-x+my+mz+5=0[/TEX] nhỏ nhất.
Giải: [tex]\overrightarrow{n_P} = (m;1;1); \overrightarrow{n_Q} = (-1;m;m)[/tex]
Gọi [TEX]\alpha[/TEX] là góc giữa (P) và (Q). Khi đó:
[tex]cos\alpha =\frac{|m|}{\sqrt{(m^2+2)(2m^2+1)}}=\frac{|m|}{\sqrt{2m^4+5m^2+2}}=\frac{1}{\sqrt{2m^2+5+\frac{2}{m^2}}}[/tex]
Góc [TEX]\alpha[/TEX] nhỏ nhất khi [TEX]cos\alpha[/TEX] đạt max.
Mà: [tex]2m^2+5+\frac{2}{m^2}\geq 5+2\sqrt{4}=9[/tex]
=> [tex]cos\alpha \leq \frac{1}{\sqrt{9}}=\frac{1}{3}[/tex]
Dấu "=" khi [TEX]m^4=1<=>m=1[/TEX] hoặc [TEX]m=-1[/TEX]
Ta dựa vào góc giữa 2 vecto pháp tuyến để tính góc giữa 2 mặt phẳng. Cho (P) có vtpt [tex]\overrightarrow{n_P}=(a;b;c)[/tex] , (Q) có vtptp [tex]\overrightarrow{n_Q}=(d;e;f)[/tex]
=> Góc giữa (P) và (Q) là góc giữa [TEX](\overrightarrow{n_P}; \overrightarrow{n_Q})[/TEX]
Gọi [tex]\alpha[/tex] là góc giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q).
Áp dụng công thức cos góc giữa 2 vecto ta có:
[tex]cos(\overrightarrow{n_P}; \overrightarrow{n_Q})=\frac{\overrightarrow{n_P} .\overrightarrow{n_Q}}{|\overrightarrow{n_P}|| \overrightarrow{n_Q}|}=\frac{ad+be+cf}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{d^2+e^2+f^2}}[/tex]
Tuy nhiên góc giữa 2 mp luôn nằm trong đoạn [TEX0^o;90^o[/TEX], nên ta luôn có:
[tex]cos\alpha\geq 0[/tex]
Do đó công thức tính cos góc giữa (P) và (Q) là:
[tex]cos\alpha=\frac{|ad+be+cf|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{d^2+e^2+f^2}}[/tex]
Từ kết của này ta lấy arccos là ra góc cần tìm
* Một số kết quả:
+ Góc giữa (P) và (Q) max khi [TEX]cos \alpha[/TEX] min.
+ Góc giữa (P) và (Q) min khi [TEX]cos \alpha[/TEX] max.
Đây là do tính chất giá trị của hàm cos trong khoảng [TEX]0^o[/TEX] đến [TEX]90^o[/TEX]
* Bài tập:
1. Tính góc giữa 2 mặt phẳng: [TEX](P):-x+2y+z+5=0[/TEX] và (Q): [TEX]x+y+2z+8=0[/TEX]
Giải: ta có: [TEX]\overrightarrow{n_P} =(-1;2;1)[/TEX], [TEX]\overrightarrow{n_Q}=(1;1;2) [/TEX]
Gọi [TEX]\alpha[/TEX] là góc giữa (P) và (Q). Khi đó:
[tex]cos\alpha =\frac{|-1.1+2.1+1.2|}{\sqrt{(-1)^2+2^2+1^2}.\sqrt{1^2+1^2+2^2}}=\frac{1}{2}[/tex]
=>[TEX]\alpha = 60^o[/TEX]
Vậy góc giữa (P) và (Q) là [TEX]60^o[/TEX]
2. Tìm m để góc giữa (P): [TEX]x+y+z+3=0[/TEX] và (Q): [TEX]mx+2y+mz+5=0[/TEX] bằng [TEX]60^o[/TEX]
Giải: Ta có [TEX] \overrightarrow{n_P} = (1;1;1)[/TEX], [TEX]\overrightarrow{n_Q} = (m;2;m) [/TEX]
Gọi [TEX]\alpha[/TEX] là góc giữa (P) và (Q). Khi đó:
[tex]cos\alpha =\frac{|m+2+m|}{\sqrt{1+1+1}.\sqrt{m^2+4+m^2}}=\frac{|2m+2|}{\sqrt{3(2m^2+4)}}[/tex]
[TEX]\alpha = 60^o=>cos \alpha = 1/2[/TEX]
=>[tex]\frac{|2m+2|}{\sqrt{3(2m^2+4)}}=\frac{1}{2}<=>2|2m+2|=\sqrt{3(2m^2+4)}<=>16m^2+32m+16=6m^2+12[/tex]
<=>[TEX]5m^2+16m+2=0[/TEX]
<=>[tex]m=\frac{-8+\sqrt{54}}{5}[/tex] hoặc [tex]m=\frac{-8-\sqrt{54}}{5}[/tex]
3. Tìm m để góc giữa (P): [TEX]mx+y+z+3=0[/TEX] và (Q): [TEX]-x+my+mz+5=0[/TEX] nhỏ nhất.
Giải: [tex]\overrightarrow{n_P} = (m;1;1); \overrightarrow{n_Q} = (-1;m;m)[/tex]
Gọi [TEX]\alpha[/TEX] là góc giữa (P) và (Q). Khi đó:
[tex]cos\alpha =\frac{|m|}{\sqrt{(m^2+2)(2m^2+1)}}=\frac{|m|}{\sqrt{2m^4+5m^2+2}}=\frac{1}{\sqrt{2m^2+5+\frac{2}{m^2}}}[/tex]
Góc [TEX]\alpha[/TEX] nhỏ nhất khi [TEX]cos\alpha[/TEX] đạt max.
Mà: [tex]2m^2+5+\frac{2}{m^2}\geq 5+2\sqrt{4}=9[/tex]
=> [tex]cos\alpha \leq \frac{1}{\sqrt{9}}=\frac{1}{3}[/tex]
Dấu "=" khi [TEX]m^4=1<=>m=1[/TEX] hoặc [TEX]m=-1[/TEX]