Bài 1 : Mỗi số trong 100 số đã cho đc cộng thêm 1. Sau đó mỗi số đc cộng thêm 1 một lần nữa.Biết rằng ở lần đầu tiên, tổng các bình phương của các số là ko đổi.Hỏi tổng này thay đổi thế nào ở lần thứ hai ? -Trích đề thi Toán quốc tế THCS mở rộng giữa các thành phố ITOT( mùa xuân năm 2014) Mn giải giùm em ạ, khó quá
Gọi 100 số đó là [TEX]x_1,x_2,...,x_100[/TEX] Gọi tổng bình phương 100 số mỗi lần là [TEX]S_1,S_2,S_3[/TEX] Ta có: [tex]S_1=x_1^2+x_2^2+...+x_{100}^2,S_2=(x_1+1)^2+(x_2+2)^2+...+(x_{100}+1)^2,S_3=(x_1+2)^2+(x_2+2)^2+...+(x_{100}+1)^2[/tex] Ta thấy: [tex]S_2-S_1=(x_1^2+2x_1+1)+(x_2^2+2x_2+1)+...+(x_{100}^2+2x_{100}+1)-(x_1^2+x_2^2+...+x_{100}^2)=2(x_1+x_2+...+x_{100})+100=0\Rightarrow x_1+x_2+...+x_{100}=-50[/tex] Từ đó [tex]S_3-S_1=(x_1^2+4x_1+4)+(x_2^2+4x_2+4)+...+(x_{100}^2+4x_{100}+4)-(x_1^2+x_2^2+...+x_{100}^2)=4(x_1+x_2+...+x_{100}+100)=200[/tex] Vậy sau lần thứ 2 thì tổng tăng 200 đơn vị.