- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Đây là dạng bài mà số phức z cho bởi 1 phương trình liên hệ chứ chưa tường minh. Và yêu cầu là ta phải tìm |z|.
*Các công thức cần áp dụng :
1. |[TEX]|z_1.z_2|=|z_1|.|z_2|[/TEX]
2. [tex]|z|=|\overline{z}|[/tex]
3. [TEX]z.\overline{z}=|z|^{2}[/TEX]
4.[tex]|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}[/tex]
*Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn : [tex]z-4=(1+i)|z|-(4+3z)i[/tex]. Tính |z|
Lời giải: ta có thể thấy nếu đặt z=a+bi rồi thay vào biến đổi để tính [tex]|z|=\sqrt{a^2+b^2}[/tex] không phải việc dễ dàng gì. Vậy ta sẽ biến đổi về các dạng tích để sử dụng được các công thức ở trên.
[tex]z-4=(1+i)|z|-(4+3z)i<=>(1+3i)z=4-4i+i|z|+|z|<=>(1+3i)z=(|z|+4)+i(|z|-4)[/tex]
Giờ ta lấy module 2 vế: lưu ý bên vế phải là chuẩn dạng 1 số phức với phần thực là (|z|+4), phần ảo là (|z-4|)
Vậy ta được:
[tex]|1+3i|.|z|=\sqrt{(|z|+4)^2+(|z|-4)^2}<=>|z|^2.10=2|z|^2+32<=>|z|^2=4<=>|z|=2[/tex]
*Nhận xét: cách làm chung là phải biến đổi 2 vế sao cho 1 vế gồm có tích (hoặc thương) của số phức z (hoặc [TEX]\overline{z}[/TEX]). Còn 1 vế là chuẩn dạng số phức có phần thực, phần ảo. ( có xuất hiện |z| cũng không vấn đề, vì |z| là 1 số thực ) . Sau đó, ta lấy module 2 vế và áp dụng các tính chất module của 1 tích hoặc 1 thương để tìm |z|
Ví dụ 2 : Cho số phức z thỏa mãn : [tex]2z-2=(1-i)|\overline{z}|+(2-z\sqrt{2})i[/tex]
Lời giải: Vẫn tương tự cách làm bài vừa rồi, biến đổi sau đó module 2 vế:
[tex]z(2+i\sqrt{2})=2+2i+(1-i)|\overline{z}|<=>z(2+i\sqrt{2})=|z|+2+i(2-|z|)[/tex]
=>[tex]|z|\sqrt{6}=\sqrt{(|z|+2)^2+(2-|z|)^2}<=>6|z|^2=2|z|^2+8<=>|z|^2=2<=>|z|=\sqrt{2}[/tex]
Ví dụ 3: Cho số phức z khác 0 thỏa mãn: [tex](1+2i)|z|=\frac{\sqrt{10}}{z}+i-2[/tex]
Lời giải: [tex](1+2i)|z|=\frac{\sqrt{10}}{z}+i-2<=>(|z|+2)+(2|z|-1)i=\frac{\sqrt{10}}{z}[/tex]
Lấy module 2 vế lúc này ở VP ta sử dụng đến công thức module của 1 thương:
[tex]\sqrt{(|z|+2)^2+(2|z|-1)^2}=\frac{\sqrt{10}}{|z|}<=>5|z|^2+5=\frac{10}{|z|^2}<=>5|z|^4-|5|z|^2-10=0[/tex]
<=>[TEX]|z|^2=1[/TEX] hoặc [TEX]|z|^2=-2[/TEX](loại)
<=>|z|=1
Ví dụ 4: Cho số phức z khác 0 thỏa mãn: [tex]\frac{1-i}{z}=\frac{(2-3i)\overline{z}}{|z|^2}+2-i[/tex]. Tính |z|
Lời giải: sử dụng [TEX]z.\overline{z}=|z|^2|[/TEX]
Ta có: [tex]\frac{1-i}{z}=\frac{(2-3i)\overline{z}}{|z|^2}+2-i<=>\frac{1-i}{z}=\frac{(2-3i)\overline{z}}{z\overline{z}}+2-i<=>\frac{1-i}{z}=\frac{(2-3i)}{z}+2-i<=>\frac{2i-1}{z}=2-i[/tex]
Lấy module 2 vế ta được: [tex]\frac{\sqrt{5}}{|z|}=\sqrt{5}<=>|z|=1[/tex]
*Các công thức cần áp dụng :
1. |[TEX]|z_1.z_2|=|z_1|.|z_2|[/TEX]
2. [tex]|z|=|\overline{z}|[/tex]
3. [TEX]z.\overline{z}=|z|^{2}[/TEX]
4.[tex]|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}[/tex]
*Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn : [tex]z-4=(1+i)|z|-(4+3z)i[/tex]. Tính |z|
Lời giải: ta có thể thấy nếu đặt z=a+bi rồi thay vào biến đổi để tính [tex]|z|=\sqrt{a^2+b^2}[/tex] không phải việc dễ dàng gì. Vậy ta sẽ biến đổi về các dạng tích để sử dụng được các công thức ở trên.
[tex]z-4=(1+i)|z|-(4+3z)i<=>(1+3i)z=4-4i+i|z|+|z|<=>(1+3i)z=(|z|+4)+i(|z|-4)[/tex]
Giờ ta lấy module 2 vế: lưu ý bên vế phải là chuẩn dạng 1 số phức với phần thực là (|z|+4), phần ảo là (|z-4|)
Vậy ta được:
[tex]|1+3i|.|z|=\sqrt{(|z|+4)^2+(|z|-4)^2}<=>|z|^2.10=2|z|^2+32<=>|z|^2=4<=>|z|=2[/tex]
*Nhận xét: cách làm chung là phải biến đổi 2 vế sao cho 1 vế gồm có tích (hoặc thương) của số phức z (hoặc [TEX]\overline{z}[/TEX]). Còn 1 vế là chuẩn dạng số phức có phần thực, phần ảo. ( có xuất hiện |z| cũng không vấn đề, vì |z| là 1 số thực ) . Sau đó, ta lấy module 2 vế và áp dụng các tính chất module của 1 tích hoặc 1 thương để tìm |z|
Ví dụ 2 : Cho số phức z thỏa mãn : [tex]2z-2=(1-i)|\overline{z}|+(2-z\sqrt{2})i[/tex]
Lời giải: Vẫn tương tự cách làm bài vừa rồi, biến đổi sau đó module 2 vế:
[tex]z(2+i\sqrt{2})=2+2i+(1-i)|\overline{z}|<=>z(2+i\sqrt{2})=|z|+2+i(2-|z|)[/tex]
=>[tex]|z|\sqrt{6}=\sqrt{(|z|+2)^2+(2-|z|)^2}<=>6|z|^2=2|z|^2+8<=>|z|^2=2<=>|z|=\sqrt{2}[/tex]
Ví dụ 3: Cho số phức z khác 0 thỏa mãn: [tex](1+2i)|z|=\frac{\sqrt{10}}{z}+i-2[/tex]
Lời giải: [tex](1+2i)|z|=\frac{\sqrt{10}}{z}+i-2<=>(|z|+2)+(2|z|-1)i=\frac{\sqrt{10}}{z}[/tex]
Lấy module 2 vế lúc này ở VP ta sử dụng đến công thức module của 1 thương:
[tex]\sqrt{(|z|+2)^2+(2|z|-1)^2}=\frac{\sqrt{10}}{|z|}<=>5|z|^2+5=\frac{10}{|z|^2}<=>5|z|^4-|5|z|^2-10=0[/tex]
<=>[TEX]|z|^2=1[/TEX] hoặc [TEX]|z|^2=-2[/TEX](loại)
<=>|z|=1
Ví dụ 4: Cho số phức z khác 0 thỏa mãn: [tex]\frac{1-i}{z}=\frac{(2-3i)\overline{z}}{|z|^2}+2-i[/tex]. Tính |z|
Lời giải: sử dụng [TEX]z.\overline{z}=|z|^2|[/TEX]
Ta có: [tex]\frac{1-i}{z}=\frac{(2-3i)\overline{z}}{|z|^2}+2-i<=>\frac{1-i}{z}=\frac{(2-3i)\overline{z}}{z\overline{z}}+2-i<=>\frac{1-i}{z}=\frac{(2-3i)}{z}+2-i<=>\frac{2i-1}{z}=2-i[/tex]
Lấy module 2 vế ta được: [tex]\frac{\sqrt{5}}{|z|}=\sqrt{5}<=>|z|=1[/tex]
