- 24 Tháng mười 2018
- 1,616
- 1,346
- 216
- 24
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
1. kiến thức cần sử dụng
- [tex]z=a+bi=>\left\{\begin{matrix} \overline{z}=a-bi\\ |z|=\sqrt{a^2+b^2} \end{matrix}\right.[/tex]
- [tex]z^2=(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi[/tex]
- [tex]z^3=(a+bi)^3=(a^3-3ab^2)+(3a^2b-b^3)i[/tex]
- liên hợp:
+ [tex]\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}[/tex]
+ [tex]\overline{z_1.z_2}=\overline{z_1}.\overline{z_2}[/tex]
+ [tex]\overline{\left (\frac{z_1}{z_2} \right )}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}[/tex]
- module:
+ [tex]|z_1.z_2|=|z_1|.|z_2|=>|z^n|=|z|^n[/tex]
+ [tex]\left | \frac{z_1}{z_2} \right |=\frac{|z_1|}{|z_2|}[/tex]
- cho z là số thực: [tex]z=a[/tex]
- cho z là số thuần ảo: [tex]z=bi[/tex]
2. phương pháp xử lí bài toán tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước
- đặt [tex]z=a+bi[/tex], kết hợp với điều kiện đưa về giải phương trình, hệ phương trình
- với bài toán có z và |z|, đưa về phương trình dạng [tex]z=f(|z|)[/tex]. lấy module 2 vế đưa về giải phương trình.
- nếu z là số phức thỏa mãn: [tex]a.z+b.\overline{z}=c=>z=\frac{c.\overline{a}-b.\overline{c}}{|a|^2-|b|^2}[/tex]
3. ví dụ
ví dụ 1: cho [tex]z=a+bi[/tex] thõa mãn [tex](1+2i).z+5.\overline{z}=4-2i[/tex]. tính a+3b.
giải:
cách 1:
[tex](1+2i).(a+bi)+5.(a-bi)=4-2i[/tex]
[tex]<=>a+bi+2ai-2b+5a-5bi=4-2i[/tex]
[tex]<=>(6a-2b-4)+(2a-4b+2)i=0[/tex]
[tex]<=>\left\{\begin{matrix} 6a-2b-4=0\\ 2a-4b+2=0 \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} a=1\\ b=1 \end{matrix}\right.=>a+3b=4[/tex]
cách 2: sử dụng công thức ở trên, ta có:
[tex]z=\frac{c.\overline{a}-b.\overline{c}}{|a|^2-|b|^2}=\frac{(4-2i)(1-2i)-5(4+2i)}{(1^2+2^2)-5^2}=1+i[/tex]
suy ra a=b=1.
ví dụ 2: có bao nhiêu số thực m, sao cho có duy nhất một số phức z thỏa mãn [tex]z.\overline{z}=1[/tex] và [tex]|z-\sqrt{3}+i|=m[/tex], m>0.
giải:
đặt [tex]z=a+bi[/tex]
[tex]z.\overline{z}=1<=>|z|^2=1<=>a^2+b^2=1[/tex]
và [tex]|z-\sqrt{3}+i|=m<=>(a-\sqrt{3})^2+(b+1)^2=m^2[/tex]
phương trình (1) là đường tròn tâm O, bán kính [tex]R_1=1[/tex]
phương trình (2) là đường tròn tâm [tex]I(\sqrt{3};-1)[/tex], bán kính [tex]R_2=m[/tex]
để tồn tại z duy nhất thì 2 đường tròn tiếp xúc nhau, khi đó ta có:
+ tiếp xúc ngoài: [tex]OI=R_1+R_2<=>2=1+m<=>m=1[/tex]
tiếp xúc trong: [tex]OI=|R_1-R_2|<=>2=|1-m|<=>m=-1\vee m=3=>m=3[/tex]
- [tex]z=a+bi=>\left\{\begin{matrix} \overline{z}=a-bi\\ |z|=\sqrt{a^2+b^2} \end{matrix}\right.[/tex]
- [tex]z^2=(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi[/tex]
- [tex]z^3=(a+bi)^3=(a^3-3ab^2)+(3a^2b-b^3)i[/tex]
- liên hợp:
+ [tex]\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}[/tex]
+ [tex]\overline{z_1.z_2}=\overline{z_1}.\overline{z_2}[/tex]
+ [tex]\overline{\left (\frac{z_1}{z_2} \right )}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}[/tex]
- module:
+ [tex]|z_1.z_2|=|z_1|.|z_2|=>|z^n|=|z|^n[/tex]
+ [tex]\left | \frac{z_1}{z_2} \right |=\frac{|z_1|}{|z_2|}[/tex]
- cho z là số thực: [tex]z=a[/tex]
- cho z là số thuần ảo: [tex]z=bi[/tex]
2. phương pháp xử lí bài toán tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước
- đặt [tex]z=a+bi[/tex], kết hợp với điều kiện đưa về giải phương trình, hệ phương trình
- với bài toán có z và |z|, đưa về phương trình dạng [tex]z=f(|z|)[/tex]. lấy module 2 vế đưa về giải phương trình.
- nếu z là số phức thỏa mãn: [tex]a.z+b.\overline{z}=c=>z=\frac{c.\overline{a}-b.\overline{c}}{|a|^2-|b|^2}[/tex]
3. ví dụ
ví dụ 1: cho [tex]z=a+bi[/tex] thõa mãn [tex](1+2i).z+5.\overline{z}=4-2i[/tex]. tính a+3b.
giải:
cách 1:
[tex](1+2i).(a+bi)+5.(a-bi)=4-2i[/tex]
[tex]<=>a+bi+2ai-2b+5a-5bi=4-2i[/tex]
[tex]<=>(6a-2b-4)+(2a-4b+2)i=0[/tex]
[tex]<=>\left\{\begin{matrix} 6a-2b-4=0\\ 2a-4b+2=0 \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} a=1\\ b=1 \end{matrix}\right.=>a+3b=4[/tex]
cách 2: sử dụng công thức ở trên, ta có:
[tex]z=\frac{c.\overline{a}-b.\overline{c}}{|a|^2-|b|^2}=\frac{(4-2i)(1-2i)-5(4+2i)}{(1^2+2^2)-5^2}=1+i[/tex]
suy ra a=b=1.
ví dụ 2: có bao nhiêu số thực m, sao cho có duy nhất một số phức z thỏa mãn [tex]z.\overline{z}=1[/tex] và [tex]|z-\sqrt{3}+i|=m[/tex], m>0.
giải:
đặt [tex]z=a+bi[/tex]
[tex]z.\overline{z}=1<=>|z|^2=1<=>a^2+b^2=1[/tex]
và [tex]|z-\sqrt{3}+i|=m<=>(a-\sqrt{3})^2+(b+1)^2=m^2[/tex]
phương trình (1) là đường tròn tâm O, bán kính [tex]R_1=1[/tex]
phương trình (2) là đường tròn tâm [tex]I(\sqrt{3};-1)[/tex], bán kính [tex]R_2=m[/tex]
để tồn tại z duy nhất thì 2 đường tròn tiếp xúc nhau, khi đó ta có:
+ tiếp xúc ngoài: [tex]OI=R_1+R_2<=>2=1+m<=>m=1[/tex]
tiếp xúc trong: [tex]OI=|R_1-R_2|<=>2=|1-m|<=>m=-1\vee m=3=>m=3[/tex]