- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,705
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Đây là 1 dạng bài tập vận dụng kiến thức cơ bản về tiệm cận của hàm số.
Để làm được chỉ cần nắm vững lại cái lí thuyết tìm tiệm cận sau:
Tìm tiệm cận đứng : tìm nghiệm của mẫu trong phân thức, nghiệm đó không còn trùng với tử.
Tìm tiệm cận ngang: Ném x ra vô cùng, lim y phải hữu hạn.
Đề hỏi là tiệm cận ngang, vậy rõ ràng là ném x ra vô cùng, phải có cái lim y hữu hạn. Đồng thời lim ở +oo và -oo là khác nhau, thì mới có 2 tiệm cận ngang được.
Ta dựa đáp án để chia trường hợp, đây là 1 mẹo nhỏ giúp các bạn có thể nhanh chóng tìm ra cách làm.
Nếu [TEX]m<0[/TEX], ví dụ m=-1, thì [TEX]1-x^2->-oo[/TEX] khi x->oo, vậy thì chẳng có lim nào hết, bởi vì trong căn âm là vi phạm ĐKXĐ. Loại
Nếu m=0 thì lim y=oo khi x->oo. Loại
Nếu m>0, thì đã thỏa mãn trong căn dương. Vậy chúng ta có lim như sau:
[tex]limy=\frac{x}{\sqrt{mx^2}}=\frac{x}{\sqrt{m}|x|}[/tex]
= [TEX]\frac{1}{\sqrt{m}}[/TEX] khi x>0 ( hay x->+oo)
Và : [TEX]\frac{-1}{\sqrt{m}}[/TEX] khi x<0
2 lim này khác nhau, và hữu hạn, vậy thỏa mãn yêu cầu.
Ở bên trên khi tìm lim, mình đã áp dụng định lý vô cùng lớn tương đương ( sẽ học ở toán cao cấp đại học ).
Tức là, khi x->oo, nếu biểu thức đang không phải dạng vô đinh ( dạng oo-oo) thì ta chỉ cần giữ lại số hạng có bậc của x lớn nhất, cái khác bỏ hết đi. Nó chỉ là 1 cách nhanh gọn và tối giản của việc chia như các bạn thường làm, tuy nhiên việc chia rõ ràng rối mắt mất công hơn nhiều.
Với bài toán đếm số tiệm cận thỏa mãn thế này ( bao gồm cả đứng và ngang ), thì ta thường là sẽ đếm tiệm cận ngang trước. Vì nó dễ tìm mặc dù có tham số m, hơn là tiệm cận đứng.
Ta dễ thấy : [tex]\underset{x->\infty }{limy}=\frac{x^2}{x^2}=1[/tex]
Vậy mọi m ta luôn có 1 TCN. Như vậy để thỏa mãn bài toán, ta chỉ có thể có thêm 1 tiệm cận đứng.
Mà xét mẫu, có 2 nghiệm x=1;x=2. Vậy 1 trong 2 nghiệm đó phải trùng với nghiệm của tử ( để bị rút gọn đi, không còn tiệm cận đứng đó nữa ).
Với x=1, thay lên tử, có m=-1.
Với x=2 thì m=-4.
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn.
Tương tự câu trên, nhìn tiệm cận ngang trước.
Áp dụng vô cùng lớn, r õ ràng khi x->oo thì lim y = 0=> đồ thị hàm luôn có 1 TCN
Vậy để thỏa mãn thì đồ thị hàm phải không có TCĐ.
Hay mẫu phải vô nghiệm, hoặc có nghiệm duy nhất trùng với tử.
Xét m=0 => [tex]y=\frac{-1}{9x^2+1}[/tex] , thỏa mãn.
Xét m khác 0, cả 2 pt bậc 2 của mẫu phải vô nghiệm
=> [tex]\left\{\begin{matrix} 9-3m<0\\ 9m^2-9<0 \end{matrix}\right.[/tex]
Không có giá trị nào của m thỏa mãn ở trường hợp này.
Vậy chỉ có 1 giá trị m thỏa mãn.
Từ yêu cầu đề bài cho thấy, phải tồn tại lim y khi x->oo, và lim y phải hữu hạn.
Như vậy nhân định đầu tiên là m>0.
Áp dụng vô cùng lớn tương đương ( dạng vô định không được áp dụng, tuy nhiên vì ta chỉ cần lim là hữu hạn chứ không cần tính giá trị chính xác, nên áp dụng được )
[tex]limy=x-\sqrt{m}|x|[/tex]
Khi x->+oo thì [tex]limy=(1-\sqrt{m})x[/tex] , vì x là vô cùng nên [TEX]1-\sqrt{m}=0[/TEX] để lim y=0, là hữu hạn
=> m=1
Khi x->-oo, lim y= [tex](1+\sqrt{m})x[/tex] , [TEX]1+\sqrt{m}=0[/TEX] vô nghiệm nên không có giá trị của m thỏa mãn .
Vậy ta chỉ có m=1 thỏa mãn
Để làm được chỉ cần nắm vững lại cái lí thuyết tìm tiệm cận sau:
Tìm tiệm cận đứng : tìm nghiệm của mẫu trong phân thức, nghiệm đó không còn trùng với tử.
Tìm tiệm cận ngang: Ném x ra vô cùng, lim y phải hữu hạn.
Đề hỏi là tiệm cận ngang, vậy rõ ràng là ném x ra vô cùng, phải có cái lim y hữu hạn. Đồng thời lim ở +oo và -oo là khác nhau, thì mới có 2 tiệm cận ngang được.
Ta dựa đáp án để chia trường hợp, đây là 1 mẹo nhỏ giúp các bạn có thể nhanh chóng tìm ra cách làm.
Nếu [TEX]m<0[/TEX], ví dụ m=-1, thì [TEX]1-x^2->-oo[/TEX] khi x->oo, vậy thì chẳng có lim nào hết, bởi vì trong căn âm là vi phạm ĐKXĐ. Loại
Nếu m=0 thì lim y=oo khi x->oo. Loại
Nếu m>0, thì đã thỏa mãn trong căn dương. Vậy chúng ta có lim như sau:
[tex]limy=\frac{x}{\sqrt{mx^2}}=\frac{x}{\sqrt{m}|x|}[/tex]
= [TEX]\frac{1}{\sqrt{m}}[/TEX] khi x>0 ( hay x->+oo)
Và : [TEX]\frac{-1}{\sqrt{m}}[/TEX] khi x<0
2 lim này khác nhau, và hữu hạn, vậy thỏa mãn yêu cầu.
Ở bên trên khi tìm lim, mình đã áp dụng định lý vô cùng lớn tương đương ( sẽ học ở toán cao cấp đại học ).
Tức là, khi x->oo, nếu biểu thức đang không phải dạng vô đinh ( dạng oo-oo) thì ta chỉ cần giữ lại số hạng có bậc của x lớn nhất, cái khác bỏ hết đi. Nó chỉ là 1 cách nhanh gọn và tối giản của việc chia như các bạn thường làm, tuy nhiên việc chia rõ ràng rối mắt mất công hơn nhiều.
Với bài toán đếm số tiệm cận thỏa mãn thế này ( bao gồm cả đứng và ngang ), thì ta thường là sẽ đếm tiệm cận ngang trước. Vì nó dễ tìm mặc dù có tham số m, hơn là tiệm cận đứng.
Ta dễ thấy : [tex]\underset{x->\infty }{limy}=\frac{x^2}{x^2}=1[/tex]
Vậy mọi m ta luôn có 1 TCN. Như vậy để thỏa mãn bài toán, ta chỉ có thể có thêm 1 tiệm cận đứng.
Mà xét mẫu, có 2 nghiệm x=1;x=2. Vậy 1 trong 2 nghiệm đó phải trùng với nghiệm của tử ( để bị rút gọn đi, không còn tiệm cận đứng đó nữa ).
Với x=1, thay lên tử, có m=-1.
Với x=2 thì m=-4.
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn.
Tương tự câu trên, nhìn tiệm cận ngang trước.
Áp dụng vô cùng lớn, r õ ràng khi x->oo thì lim y = 0=> đồ thị hàm luôn có 1 TCN
Vậy để thỏa mãn thì đồ thị hàm phải không có TCĐ.
Hay mẫu phải vô nghiệm, hoặc có nghiệm duy nhất trùng với tử.
Xét m=0 => [tex]y=\frac{-1}{9x^2+1}[/tex] , thỏa mãn.
Xét m khác 0, cả 2 pt bậc 2 của mẫu phải vô nghiệm
=> [tex]\left\{\begin{matrix} 9-3m<0\\ 9m^2-9<0 \end{matrix}\right.[/tex]
Không có giá trị nào của m thỏa mãn ở trường hợp này.
Vậy chỉ có 1 giá trị m thỏa mãn.
Từ yêu cầu đề bài cho thấy, phải tồn tại lim y khi x->oo, và lim y phải hữu hạn.
Như vậy nhân định đầu tiên là m>0.
Áp dụng vô cùng lớn tương đương ( dạng vô định không được áp dụng, tuy nhiên vì ta chỉ cần lim là hữu hạn chứ không cần tính giá trị chính xác, nên áp dụng được )
[tex]limy=x-\sqrt{m}|x|[/tex]
Khi x->+oo thì [tex]limy=(1-\sqrt{m})x[/tex] , vì x là vô cùng nên [TEX]1-\sqrt{m}=0[/TEX] để lim y=0, là hữu hạn
=> m=1
Khi x->-oo, lim y= [tex](1+\sqrt{m})x[/tex] , [TEX]1+\sqrt{m}=0[/TEX] vô nghiệm nên không có giá trị của m thỏa mãn .
Vậy ta chỉ có m=1 thỏa mãn
