Toán 12 Bài toán nâng cao

[bichduyendongkho@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Trong không gian với hệ toạ độ [imath]Oxyz[/imath], xét các điểm [imath]A(0;0;1), B(m;0;0), C(0;n;0), D(1;1;1)[/imath] với [imath]m>0, n>0[/imath] với [imath]m + n = 1[/imath]. Biết rằng khi [imath]m,n[/imath] thay đổi, tồn tại một mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng [imath](ABC)[/imath] và đi qua [imath]D[/imath]. Tính bán kính [imath]R[/imath] của mặt cầu đó
A. [imath]R = 1[/imath]
B. [imath]R = \dfrac{\sqrt 2}2[/imath]
C. [imath]R = \dfrac{3}2[/imath]
D. [imath]R = \dfrac{\sqrt 3}2[/imath]
Dạ mọi người cho em xin cách giải và lời giải thích chi tiết với ạ

 

[Kaito Kidㅤ]

[imath]I(a;b;c)[/imath] là tâm mặt cầu cần tìm
PT [imath](ABC)[/imath] là phương trình mặt chắn có dạng [imath]\frac{x}{m}+\frac{y}{n}+\frac{z}{1}=1[/imath]
Có: [imath]\displaystyle d(I;(ABC))= \frac{|\frac{a}{m}+\frac{b}{n}+c-1|}{\sqrt{\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}+1}}=\frac{|\frac{an+bm+cmn-mn}{mn}|}{\sqrt{\frac{m^2+n^2+m^2n^2}{m^2n^2}}}=\frac{|an+bm+cmn-mn|}{\sqrt{m^2+(1-m)^2+m^2(1-m)^2}}=\frac{|an+bm+cmn-mn|}{\sqrt{m^4-2m^3+3m^2-2m+1}}=\frac{|an+bm+cmn-mn|}{\sqrt{(m^2-m+1)^2}}=|\frac{an+bm+cmn-mn}{m^2-m+1}|=\frac{|an+bm+cmn-mn|}{m^2-m+1}[/imath]
Có: [imath]\displaystyle \frac{|an+bm+cmn-mn|}{m^2-m+1}=R\\TH1:a(1-m)+bm+cm(1-m)-m(1-m)=R(m^2-m+1)\\\Leftrightarrow a-am+bm+cm-cm^2+m^2-m-Rm^2+Rm-R=0\\\Leftrightarrow (1-R-c)m^2+(b+c-a-1+R)m+a-R=0[/imath]
Phương trình đúng với mọi [imath]m[/imath] nên [imath]c=1-R,a=R,b=R (1)[/imath]
Có tiếp: [imath]ID=\sqrt{(1-a)^2+(1-b)^2+(1-c)^2}\\\Leftrightarrow R=\sqrt{(1-a)^2+(1-b)^2+(1-c)^2} (2)[/imath]
Thay [imath](1)[/imath] vào [imath](2)[/imath] có [imath]\sqrt{2(1-R)^2+R^2}=R[/imath] giải ra [imath]R=1[/imath]
[imath]TH2:-a(1-m)-bm-cm(1-m)+m(1-m)=R(m^2-m+1)\\\Leftrightarrow -a+ma-mb-cm+cm^2+m-m^2-Rm^2+Rm-R=0\\\Leftrightarrow (c-1-R)m^2+(a-b-c+1+R)-a-R=0[/imath]
Phương trình đúng với mọi [imath]m[/imath] nên [imath]c=R+1,a=-R,b=-R (3)[/imath]
Thay [imath](3)[/imath] vào [imath](2)[/imath] có [imath]\sqrt{2(1+R)^2+R^2}=R[/imath] giải ra [imath]R=-1[/imath] (Loại vì [imath]R>0[/imath])
Do đó có [imath]R=1[/imath] thoả mãn