Toán 9 Bài toán nâng cao tứ giác nội tiếp

[thanhphatduongle@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: Tứ giác CEHD nội tiếp.
b) Chứng minh: Bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn.
c) Chứng minh: OA vuông góc với EF.

 

[Phương Trần Đz]

a) Xét tứ giác CEHD có ^HEC + ^HDC = 90 độ + 90 độ = 180 độ
=> tứ giác CEHD nội tiếp ( tổng 2 góc đối = 180 độ )
b) Xét tứ giác BFEC có ^BFC = ^CEB ( = 90 độ )
Mà 2 góc này cùng nhìn một cạnh BC dưới một góc 90 độ
=> tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp
=> 4 đỉnh B, F, E, C cùng thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC
c) tự làm

 

[nhatminh1472005]

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: Tứ giác CEHD nội tiếp.
b) Chứng minh: Bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn.
c) Chứng minh: OA vuông góc với EF.

c) Kéo dài BE và CF cắt đường tròn (O) tại M và N.
Tứ giác BCEF nội tiếp => [tex]\widehat{BEF}=\widehat{BCF}[/tex] hay [tex]\widehat{BEF}=\widehat{BCN}[/tex]. (1)
Ta cũng có: [tex]\widehat{BMN}=\widehat{BCN}[/tex] (2 góc cùng chắn cung nhỏ BN). (2)
Từ (1) và (2) suy ra [tex]\widehat{BEF}=\widehat{BMN}[/tex].
Mà 2 góc này đồng vị nên [tex]EF//MN[/tex] .
Tứ giác BCEF nội tiếp => [tex]\widehat{EBF}=\widehat{ECF}[/tex] hay [tex]\widehat{ABM}=\widehat{ACN}[/tex]
=> cung AM = cung AN (hai góc nội tiếp bằng nhau thì chắn các cung bằng nhau) => AM = AN => A thuộc đường trung trực của MN. (3)
Mà OM = ON (bán kính đường tròn) => O thuộc đường trung trực của MN. (4)
Từ (3) và (4) => OA là đường trung trực của MN => [tex]OA\perp MN[/tex].
Mặt khác: [tex]EF//MN[/tex] (chứng minh trên) => [tex]OA\perp EF[/tex] (từ vuông góc đến song song) (đpcm).