Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: Tứ giác CEHD nội tiếp.
b) Chứng minh: Bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn.
c) Chứng minh: OA vuông góc với EF.
c) Kéo dài BE và CF cắt đường tròn (O) tại M và N.
Tứ giác BCEF nội tiếp => [tex]\widehat{BEF}=\widehat{BCF}[/tex] hay [tex]\widehat{BEF}=\widehat{BCN}[/tex]. (1)
Ta cũng có: [tex]\widehat{BMN}=\widehat{BCN}[/tex] (2 góc cùng chắn cung nhỏ BN). (2)
Từ (1) và (2) suy ra [tex]\widehat{BEF}=\widehat{BMN}[/tex].
Mà 2 góc này đồng vị nên [tex]EF//MN[/tex] .
Tứ giác BCEF nội tiếp => [tex]\widehat{EBF}=\widehat{ECF}[/tex] hay [tex]\widehat{ABM}=\widehat{ACN}[/tex]
=> cung AM = cung AN (hai góc nội tiếp bằng nhau thì chắn các cung bằng nhau) => AM = AN => A thuộc đường trung trực của MN. (3)
Mà OM = ON (bán kính đường tròn) => O thuộc đường trung trực của MN. (4)
Từ (3) và (4) => OA là đường trung trực của MN => [tex]OA\perp MN[/tex].
Mặt khác: [tex]EF//MN[/tex] (chứng minh trên) => [tex]OA\perp EF[/tex] (từ vuông góc đến song song) (đpcm).