Toán 11 bài toán liên quan về tiếp tuyến

Thảo luận trong 'Đạo hàm' bắt đầu bởi Sweetdream2202, 31 Tháng tám 2019.

Lượt xem: 246

  1. Sweetdream2202

    Sweetdream2202 Cố vấn Toán Cố vấn chuyên môn

    Bài viết:
    1,570
    Điểm thành tích:
    216
    Nơi ở:
    TP Hồ Chí Minh
    Trường học/Cơ quan:
    Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    Bài toán tiếp tuyến cắt hai đường tiệm cận

    cho hàm số [tex]y=\frac{ax+b}{cx+d}[/tex] có đồ thị biểu diễn là (H).
    đồ thị hàm số (H) có tiệm cận đứng là [tex]x=\frac{-d}{c}[/tex], tiệm cận ngang là [tex]y=\frac{a}{c}[/tex]
    [tex]I\left ( \frac{-d}{c};\frac{a}{c} \right )[/tex] là giao của 2 đường tiệm cận, cũng là tâm đối xứng của đồ thi (H).

    Bài toán
    điểm [tex]M\in (H):y=\frac{ax+b}{cx+d}[/tex], tiếp tuyến của (H) tại M cắt tiệm cận đứng tại A, tiệm cận ngang tại B.
    [​IMG]
    * các tính chất:
    - tam giác IAB vuông tại I
    - [tex]y'(x_M)=\pm \frac{IB}{IA}[/tex]
    - M là trung điểm của AB.
    - tích IA.IB là hằng số.
    - bán kính đường tròn nội tiếp: [tex]r=\frac{2S}{p}=\frac{IA.IB}{IA+IB+\sqrt{IA^2+IB^2}}\leq \frac{IA.IB}{2\sqrt{IA.IB}+\sqrt{2IA.IB}}[/tex]
    [tex]=>r\leq \frac{\sqrt{S}}{1+\sqrt{2}}[/tex]

    ví dụ minh họa

    ví dụ 1:

    cho hàm số [tex]y=\frac{3x+1}{x+1}[/tex] có đồ thi là (C), I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. tiếp tuyến bất kì của (H) cắt tiệm cận đứng tại A, cắt tiệm cận ngang tại B. tính diện tích tam giác IAB.

    giải:
    ta tìm được: [tex]TCN:y=3;TCD:x=-1[/tex]
    giả sử [tex]M(m;\frac{3m+1}{m+1})[/tex] là tiếp điểm thi ta có phương trình tiếp tuyến tại điểm M là:
    [tex]y=\frac{2}{(m+1)^2}.(x-m)+\frac{3m+1}{m+1}[/tex]
    - giao với TCN: [tex]3=\frac{2}{(m+1)^2}.(x-m)+\frac{3m+1}{m+1}=>3(m+1)^=2(x-m)+(3m+1)(m+1)<=>x=2m+1[/tex]
    suy ra [tex]A(2m+1;3)[/tex]
    - do M là trung điểm AB, do đó ta suy ra được tọa độ điểm B: [tex]B(-1;\frac{3m-1}{m+1})[/tex]
    ta có: [tex]IA=|2m+2|[/tex]; [tex]IB=|\frac{4}{m+1}|[/tex]
    diện tích tam giác IAB: [tex]S=\frac{1}{2}IA.IB=\frac{1}{2}|2m+2|.|\frac{4}{m+1}|=4[/tex]

    ví dụ 2:
    cho hàm số [tex]y=\frac{3x+1}{x+1}[/tex] có đồ thi là (C), I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. A, B thuộc đồ thi (C) sao cho tiếp tuyến với (H) tại A và B song song với nhau. tiếp tuyến tại A cắt TCD tại M, tiếp tuyến tại B cắt TCN tại N. tính chu vi nhỏ nhất của tứ giác AMNB.

    giải
    giả sử 2 tiếp tuyến có hệ số góc là k.
    hoành độ của A, B là nghiệm của phương trình [tex]y'=k<=>\frac{2}{(x+1)^2}=k[/tex]. vâky k>0
    và [tex]x=-1\pm \sqrt{\frac{2}{k}}[/tex]
    đặt [tex]a=\sqrt{\frac{2}{k}}[/tex]
    suy ra [tex]x=-1\pm a[/tex]
    tọa độ 2 điểm [tex]A(-1-a;3+\frac{2}{a})[/tex] và [tex]B(-1+a;3-\frac{2}{a})[/tex]
    tiếp tuyến tại A có phương trình: [tex]y=\frac{2}{a^2}.(x+1+a)+3+\frac{2}{a}[/tex]
    M là giao điểm với tiệm cận đứng => [tex]M(-1;3+\frac{4}{a})[/tex]
    ta có tứ giác AMNB là hình bình hành nên cho vi tứ giác là:
    [tex]P=2(AB+AM)=2(\sqrt{4a^2+\frac{16}{a^2}}+\sqrt{a^2+\frac{4}{a^2}})\geq 2.(\sqrt{2\sqrt{4a^2.\frac{16}{a^2}}}+\sqrt{2\sqrt{a^2.\frac{4}{a^2}}})=12[/tex]
    vậy, chu vi nhỏ nhất của tứ giác là 12.
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->