- 24 Tháng mười 2018
- 1,616
- 1,346
- 216
- 24
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Bài toán tiếp tuyến cắt hai đường tiệm cận
cho hàm số [tex]y=\frac{ax+b}{cx+d}[/tex] có đồ thị biểu diễn là (H).
đồ thị hàm số (H) có tiệm cận đứng là [tex]x=\frac{-d}{c}[/tex], tiệm cận ngang là [tex]y=\frac{a}{c}[/tex]
[tex]I\left ( \frac{-d}{c};\frac{a}{c} \right )[/tex] là giao của 2 đường tiệm cận, cũng là tâm đối xứng của đồ thi (H).
Bài toán
điểm [tex]M\in (H):y=\frac{ax+b}{cx+d}[/tex], tiếp tuyến của (H) tại M cắt tiệm cận đứng tại A, tiệm cận ngang tại B.
* các tính chất:
- tam giác IAB vuông tại I
- [tex]y'(x_M)=\pm \frac{IB}{IA}[/tex]
- M là trung điểm của AB.
- tích IA.IB là hằng số.
- bán kính đường tròn nội tiếp: [tex]r=\frac{2S}{p}=\frac{IA.IB}{IA+IB+\sqrt{IA^2+IB^2}}\leq \frac{IA.IB}{2\sqrt{IA.IB}+\sqrt{2IA.IB}}[/tex]
[tex]=>r\leq \frac{\sqrt{S}}{1+\sqrt{2}}[/tex]
ví dụ minh họa
ví dụ 1:
cho hàm số [tex]y=\frac{3x+1}{x+1}[/tex] có đồ thi là (C), I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. tiếp tuyến bất kì của (H) cắt tiệm cận đứng tại A, cắt tiệm cận ngang tại B. tính diện tích tam giác IAB.
giải:
ta tìm được: [tex]TCN:y=3;TCD:x=-1[/tex]
giả sử [tex]M(m;\frac{3m+1}{m+1})[/tex] là tiếp điểm thi ta có phương trình tiếp tuyến tại điểm M là:
[tex]y=\frac{2}{(m+1)^2}.(x-m)+\frac{3m+1}{m+1}[/tex]
- giao với TCN: [tex]3=\frac{2}{(m+1)^2}.(x-m)+\frac{3m+1}{m+1}=>3(m+1)^=2(x-m)+(3m+1)(m+1)<=>x=2m+1[/tex]
suy ra [tex]A(2m+1;3)[/tex]
- do M là trung điểm AB, do đó ta suy ra được tọa độ điểm B: [tex]B(-1;\frac{3m-1}{m+1})[/tex]
ta có: [tex]IA=|2m+2|[/tex]; [tex]IB=|\frac{4}{m+1}|[/tex]
diện tích tam giác IAB: [tex]S=\frac{1}{2}IA.IB=\frac{1}{2}|2m+2|.|\frac{4}{m+1}|=4[/tex]
ví dụ 2:
cho hàm số [tex]y=\frac{3x+1}{x+1}[/tex] có đồ thi là (C), I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. A, B thuộc đồ thi (C) sao cho tiếp tuyến với (H) tại A và B song song với nhau. tiếp tuyến tại A cắt TCD tại M, tiếp tuyến tại B cắt TCN tại N. tính chu vi nhỏ nhất của tứ giác AMNB.
giải
giả sử 2 tiếp tuyến có hệ số góc là k.
hoành độ của A, B là nghiệm của phương trình [tex]y'=k<=>\frac{2}{(x+1)^2}=k[/tex]. vâky k>0
và [tex]x=-1\pm \sqrt{\frac{2}{k}}[/tex]
đặt [tex]a=\sqrt{\frac{2}{k}}[/tex]
suy ra [tex]x=-1\pm a[/tex]
tọa độ 2 điểm [tex]A(-1-a;3+\frac{2}{a})[/tex] và [tex]B(-1+a;3-\frac{2}{a})[/tex]
tiếp tuyến tại A có phương trình: [tex]y=\frac{2}{a^2}.(x+1+a)+3+\frac{2}{a}[/tex]
M là giao điểm với tiệm cận đứng => [tex]M(-1;3+\frac{4}{a})[/tex]
ta có tứ giác AMNB là hình bình hành nên cho vi tứ giác là:
[tex]P=2(AB+AM)=2(\sqrt{4a^2+\frac{16}{a^2}}+\sqrt{a^2+\frac{4}{a^2}})\geq 2.(\sqrt{2\sqrt{4a^2.\frac{16}{a^2}}}+\sqrt{2\sqrt{a^2.\frac{4}{a^2}}})=12[/tex]
vậy, chu vi nhỏ nhất của tứ giác là 12.
cho hàm số [tex]y=\frac{ax+b}{cx+d}[/tex] có đồ thị biểu diễn là (H).
đồ thị hàm số (H) có tiệm cận đứng là [tex]x=\frac{-d}{c}[/tex], tiệm cận ngang là [tex]y=\frac{a}{c}[/tex]
[tex]I\left ( \frac{-d}{c};\frac{a}{c} \right )[/tex] là giao của 2 đường tiệm cận, cũng là tâm đối xứng của đồ thi (H).
Bài toán
điểm [tex]M\in (H):y=\frac{ax+b}{cx+d}[/tex], tiếp tuyến của (H) tại M cắt tiệm cận đứng tại A, tiệm cận ngang tại B.
* các tính chất:
- tam giác IAB vuông tại I
- [tex]y'(x_M)=\pm \frac{IB}{IA}[/tex]
- M là trung điểm của AB.
- tích IA.IB là hằng số.
- bán kính đường tròn nội tiếp: [tex]r=\frac{2S}{p}=\frac{IA.IB}{IA+IB+\sqrt{IA^2+IB^2}}\leq \frac{IA.IB}{2\sqrt{IA.IB}+\sqrt{2IA.IB}}[/tex]
[tex]=>r\leq \frac{\sqrt{S}}{1+\sqrt{2}}[/tex]
ví dụ minh họa
ví dụ 1:
cho hàm số [tex]y=\frac{3x+1}{x+1}[/tex] có đồ thi là (C), I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. tiếp tuyến bất kì của (H) cắt tiệm cận đứng tại A, cắt tiệm cận ngang tại B. tính diện tích tam giác IAB.
giải:
ta tìm được: [tex]TCN:y=3;TCD:x=-1[/tex]
giả sử [tex]M(m;\frac{3m+1}{m+1})[/tex] là tiếp điểm thi ta có phương trình tiếp tuyến tại điểm M là:
[tex]y=\frac{2}{(m+1)^2}.(x-m)+\frac{3m+1}{m+1}[/tex]
- giao với TCN: [tex]3=\frac{2}{(m+1)^2}.(x-m)+\frac{3m+1}{m+1}=>3(m+1)^=2(x-m)+(3m+1)(m+1)<=>x=2m+1[/tex]
suy ra [tex]A(2m+1;3)[/tex]
- do M là trung điểm AB, do đó ta suy ra được tọa độ điểm B: [tex]B(-1;\frac{3m-1}{m+1})[/tex]
ta có: [tex]IA=|2m+2|[/tex]; [tex]IB=|\frac{4}{m+1}|[/tex]
diện tích tam giác IAB: [tex]S=\frac{1}{2}IA.IB=\frac{1}{2}|2m+2|.|\frac{4}{m+1}|=4[/tex]
ví dụ 2:
cho hàm số [tex]y=\frac{3x+1}{x+1}[/tex] có đồ thi là (C), I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. A, B thuộc đồ thi (C) sao cho tiếp tuyến với (H) tại A và B song song với nhau. tiếp tuyến tại A cắt TCD tại M, tiếp tuyến tại B cắt TCN tại N. tính chu vi nhỏ nhất của tứ giác AMNB.
giải
giả sử 2 tiếp tuyến có hệ số góc là k.
hoành độ của A, B là nghiệm của phương trình [tex]y'=k<=>\frac{2}{(x+1)^2}=k[/tex]. vâky k>0
và [tex]x=-1\pm \sqrt{\frac{2}{k}}[/tex]
đặt [tex]a=\sqrt{\frac{2}{k}}[/tex]
suy ra [tex]x=-1\pm a[/tex]
tọa độ 2 điểm [tex]A(-1-a;3+\frac{2}{a})[/tex] và [tex]B(-1+a;3-\frac{2}{a})[/tex]
tiếp tuyến tại A có phương trình: [tex]y=\frac{2}{a^2}.(x+1+a)+3+\frac{2}{a}[/tex]
M là giao điểm với tiệm cận đứng => [tex]M(-1;3+\frac{4}{a})[/tex]
ta có tứ giác AMNB là hình bình hành nên cho vi tứ giác là:
[tex]P=2(AB+AM)=2(\sqrt{4a^2+\frac{16}{a^2}}+\sqrt{a^2+\frac{4}{a^2}})\geq 2.(\sqrt{2\sqrt{4a^2.\frac{16}{a^2}}}+\sqrt{2\sqrt{a^2.\frac{4}{a^2}}})=12[/tex]
vậy, chu vi nhỏ nhất của tứ giác là 12.