Bài toán khoảng cách - giúp mình với!!!

[hachimura]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho: y=[tex]\frac{2x - 1}{x - 1}[/tex] ; (C)
tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất.
Mọi ng` giúp mình nhé! thanks trước!%%-%%-%%-

 

[vodichhocmai]

cho: y=[tex]\frac{2x - 1}{x - 1}[/tex] ; (C)
tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất.
Mọi ng` giúp mình nhé! thanks trước!%%-%%-%%-

[TEX]M\(x;\frac{2x - 1}{x - 1}\)[/TEX]

[TEX]\left{d_1=d_{M/ox}=\|\frac{2x - 1}{x - 1}\| \\d_2=d_{M/oy}=\|x\| [/TEX]

[TEX]d=d_1+d_2=\|\frac{2x - 1}{x - 1}\| +\|x\| [/TEX]

Xét [TEX]A(\frac{1}{2};0\)\to d=\frac{1}{2}[/TEX].

Do đó để tìm giá trị nhỏ nhất ta chỉ cần xét [TEX]x\in \[-\frac{1}{2};\frac{1}{2};\][/TEX]

Trường hợp [TEX]x\in \[-\frac{1}{2};0][/TEX] ta được :

[TEX]d= \|\frac{2x - 1}{x - 1}\| +\|x\|=\frac{2x - 1}{x - 1}-x[/TEX]

[TEX]d'=\frac{-1}{(x-1)^2}-1<0\ \ \forall x\in \[-\frac{1}{2};0] [/TEX]

[TEX]\min_{x\in \[-\frac{1}{2};0]}d=d(0)=1[/TEX]

Trường hợp [TEX]x\in \[0;\frac{1}{2}][/TEX] ta được :

[TEX]d= \|\frac{2x - 1}{x - 1}\| +\|x\|=\frac{2x - 1}{x - 1}+x[/TEX]

[TEX]d'=\frac{-1}{(x-1)^2}+1\le 0 \ \ \forall x\in \[0;\frac{1}{2}] [/TEX]

[TEX]\min_{x\in \[0;\frac{1}{2}]}d=d\(\frac{1}{2} \)=\frac{1}{2}[/TEX]

Vậy điểm cần tìm là : [TEX]M\(\frac{1}{2};0\)[/TEX]

 

[dungnhi]

[TEX]M\(x;\frac{2x - 1}{x - 1}\)[/TEX]

[TEX]\left{d_1=d_{M/ox}=\|\frac{2x - 1}{x - 1}\| \\d_2=d_{M/oy}=\|x\| [/TEX]

[TEX]d=d_1+d_2=\|\frac{2x - 1}{x - 1}\| +\|x\| [/TEX]

Xét [TEX]A(\frac{1}{2};0\)\to d=\frac{1}{2}[/TEX].

Do đó để tìm giá trị nhỏ nhất ta chỉ cần xét [TEX]x\in \[-\frac{1}{2};\frac{1}{2};\][/TEX]

Trường hợp [TEX]x\in \[-\frac{1}{2};0][/TEX] ta được :

[TEX]d= \|\frac{2x - 1}{x - 1}\| +\|x\|=\frac{2x - 1}{x - 1}-x[/TEX]

[TEX]d'=\frac{-1}{(x-1)^2}-1<0\ \ \forall x\in \[-\frac{1}{2};0] [/TEX]

[TEX]\min_{x\in \[-\frac{1}{2};0]}d=d(0)=1[/TEX]

Trường hợp [TEX]x\in \[0;\frac{1}{2}][/TEX] ta được :

[TEX]d= \|\frac{2x - 1}{x - 1}\| +\|x\|=\frac{2x - 1}{x - 1}+x[/TEX]

[TEX]d'=\frac{-1}{(x-1)^2}+1\le 0 \ \ \forall x\in \[0;\frac{1}{2}] [/TEX]

[TEX]\min_{x\in \[0;\frac{1}{2}]}d=d\(\frac{1}{2} \)=\frac{1}{2}[/TEX]

Vậy điểm cần tìm là : [TEX]M\(\frac{1}{2};0\)[/TEX]

[tex] g(x) =|x|+\frac{|2x-1|}{|x-1|}[/tex]
[tex]g(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}--> g(x)\leq \frac{1}{2}[/tex]
<-->[tex]\left\{\begin{array}{I} |x|\leq \frac{1}{2} \\ |\frac{2x-1}{x-1}|\leq \frac{1}{2} \end{array}\right[/tex]
<-->[tex] \frac{1}{3}\leq x \leq \frac{1}{2}[/tex]
Giờ chỉ cần khảo sát g(x) trên [tex] [\frac{1}{3};\frac{1}{2}][/tex] là đc