cho a*b+b*c+a*c=2011a*b*c
tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
=1/((a+2b)+1/(b+2c)+1/(c+2a))
[TEX] ab+bc+ac=2011abc[/TEX] suy ra: [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2001(*)[/TEX]
[TEX]P=\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}[/TEX]
[TEX]x>0;y>0;z>0[/TEX]Ta có bất đẳng thức: [TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq\frac{9}{x+y+z}[/TEX]
Áp dụng bdt trên ta có:
[TEX]\frac{9}{a+b+b}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\\\frac{9}{b+c+c}\leq \frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\\\frac{9}{c+a+a}\leq \frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}[/TEX]
Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta có:
[TEX]9P\leq \3[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}]=6003\Rightarrow P\leq \frac{6003}{9}[/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi [TEX]a=b=c=\frac{3}{2001}[/TEX].
Vậy [TEX]max P=\frac{6003}{9} \ khi a=b=c=\frac{3}{2001}[/TEX]
Giả sử [TEX]b=c=x(x>0)[/TEX] và [TEX]a[/TEX] là giá trị bất kì. Ta có:
[TEX]\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{2}{x}=2011\Rightarrow \frac{1}{a}\rightarrow 2011\Rightarrow a\rightarrow \frac{1}{2011}\Rightarrow \frac{2}{x}\rightarrow 0 \ khi\ x\rightarrow \infty [/TEX]
Vậy [TEX]P\rightarrow 0[/TEX]. Không tồn tại giá trị bé nhất.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn