Bài toán đố khá thú vị

H

huythai08

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Tìm phân số biết mẫu nhỏ hơn bình phương tử 1 đơn vị.
Nếu ta tăng cả tử và mẫu lên 2 đơn vị thì được một phân số lớn hơn 1/3.
Nếu ta giảm cả tử và mẫu đi 3 đơn vị thì được một phân số dương nhỏ hơn 1/10.
Nhờ các bạn giải giúp bằng phương pháp lập luận.
Bài 2:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) trong đó, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại M. Cho biết ADB là tam giác cân có góc A lớn hơn 900.
a) Chứng minh rằng: AD2 = AM.AC.
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DCM và J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM. Chứng minh rằng: góc IDB = góc JBD.

c) Chứng minh rằng: Tổng các độ dài của hai đoạn thẳng ID và JB không tùy thuộc vào vị trí của điểm C trên cung lớn BD của đường tròn (O).
Bài này khá hóc búa mong các bạn giải giúp câu b và c.
 
U

ultimate2012


Câu a thì có lẽ bạn làm được nên mình không cần phải chữa nhỉ:
Câu b).
Xét (J) ta có:
[TEX]\widehat{MJB}[/TEX]=2[TEX]\widehat{MCB}[/TEX] (cùng chắn cung MB của (J)) mà [TEX]\widehat{JBM}[/TEX]=[TEX]90^{\circ}[/TEX]-[TEX]\frac{\widehat{MJB}}{2}[/TEX]
nên [TEX]\widehat{JBM}=90^{\circ}-\widehat{ACB}[/TEX]. (1)
Lại có:
Ở câu a ta có [TEX]\widehat{ADM}=\widehat{ACD}[/TEX] mà [TEX]\widehat{ADM}=\widehat{ACB}[/TEX] nên [TEX]\widehat{ACB}=\widehat{ACD}[/TEX] (2)
Từ (1) và (2) suy ra: [TEX]\widehat{JBM}=90^{\circ}-\widehat{ACD}[/TEX]
Tương tự Xét (I) ta cũng có: [TEX]\widehat{IDB}=90^{\circ}-\widehat{ACD}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] (đpcm). Xong câu b

Câu c).
Ta có [TEX]\widehat{DIM}=2.\widehat{MCD}=2.\widehat{ACD}[/TEX]
mà [TEX]\widehat{AOD}=2.\widehat{ACD}[/TEX]
nên [TEX]\widehat{DIM}=\widehat{AOD}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \Delta AOD\sim \Delta DIM[/TEX] (Hai tam giác cân có góc ở đỉnh bằng nhau)
mà theo câu b thì [TEX]\Delta MJB\sim \Delta DIM[/TEX] (Hai tam giác cân có góc ở đỉnh bằng nhau)
nên:
[TEX]\frac{OD}{AD}=\frac{ID}{DM}=\frac{JB}{MB}=\frac{ID+JB}{MD+MB}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow ID+JB=\frac{r.BD}{AD}[/TEX] (không đổi)
[TEX]\Rightarrow[/TEX] (đpcm)

 
Last edited by a moderator:
H

huythai08

bạn có giải được bài số 1 không giúp mình với. mình đang ôn thi thầy cho bài về nhà mà không giải được. và thêm 3 bài hình học nữa nè:
Bài 4: (2,5 điểm)
Cho hai đường tròn ở ngoài nhau với ba tiếp tuyến chung AB, CD, EF như hình vẽ (A, B, C, D, E, F là các tiếp điểm), P là giao điểm của AB và EF, Q là giao điểm của CD và EF.
Chứng minh rằng: PB = CQ.

Bài 5: (3,5 điểm)
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B (các bán kính của (O) và (O’) đều bé hơn độ dài đoạn thẳng OO’). Lấy một điểm P thuộc đường tròn (O) (P khác A và B). Đường thẳng PA cắt đường tròn (O’) tại Q (Q khác A).
a) Giả sử A nằm giữa P và Q. Hãy xác định vị trí của cát tuyến PQ để độ dài của đoạn thẳng PQ có giá trị lớn nhất..
b) Hãy xác định vị trí của cát tuyến PQ để AP = AQ.
Bài 6: (2,0 điểm)
Cho tam giác cân ABC (AB = AC) và một điểm P thuộc BC (P không trùng với B và C). Một đường thẳng qua P cắt các tia AB và AC lần lượt tại M và N. Lấy điểm N’ thuộc đường thẳng MN sao cho góc MN'C = góc MBC.
Chứng minh rằng: PN >= PN’ và PM.PN >= PB.PC.
GiangDay
 
U

ultimate2012

Bài 4: Ta có:
PA=PE; PF=PB;
[tex]\Rightarrow 2.PE+EF=AB[/tex]
Tương tự ta có: [tex]\Rightarrow 2.FQ+EF=CD[/tex]
mà [tex]CD=AB[/tex] nên [tex]PE=FQ[/tex]
[tex]\Rightarrow PF=EQ[/tex]
[tex]\Rightarrow PB=CQ[/tex]
(đpcm)
__________________________________
Bài 5:
a) Ta có: [tex]\Delta PQB\sim \Delta OO'A[/tex] (g-g) (cái này thì dễ chứng minh )

[tex]\Rightarrow \frac{PQ}{BQ}=\frac{OO'}{AO'}[/tex]

[tex]\Rightarrow PQ=\frac{OO'.BQ}{r}[/tex] (r là bán kính đường tròn tâm O')

[tex]\Rightarrow PQ\leq \frac{OO'.2.r}{r}=2.OO'[/tex] (do BQ là dây cung nhỏ hơn hoặc bằng đường kính )

Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow[/tex] PQ vuông góc với AB. hoặc PQ song song với OO'.

b)

Từ O kẻ OC vuông góc với PQ. Từ O' kẻ O'D vuông góc với PQ.

[tex]\Rightarrow AC=\frac{AP}{2};AD=\frac{AQ}{2}[/tex]

Giả sử ta tìm được vị trí của cát tuyến thỏa mãn thì AP=AQ nên AC=AD.
Lấy trung điểm E của OO'. Ta có EA là đường trung bình của hình thang OCDO'.
nên EA vuông góc với PQ. mà E cố định (là trung điểm của OO'), A cố định => vị trí của PQ.

Vậy để AP=AQ thì PQ phải vuông góc với EA (E cố định, A cố định )

___________________________________
Bài 6:
Ta có:
[tex]\widehat{MBP}=\widehat{PN'C}[/tex] (do góc MN'C = góc MBC)
[tex]\Rightarrow[/tex] Tứ giác MBN'C nội tiếp
[tex]\Rightarrow \widehat{N'CP}=\widehat{BMP}[/tex]
Lại có:
[tex]\widehat{ACB}=\widehat{ABC}\geq \widehat{BMP}=\widehat{N'CP}[/tex]
[tex]\Rightarrow \widehat{NCP}\geq \widehat{N'CP}[/tex]
[tex]\Rightarrow PN\geq PN'[/tex] (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi M trùng với B, N trùng với C.
Tứ giác MBN'C nội tiếp (chứng minh trên) nên [tex]PB.PC=PN'.PM[/tex]
mà [tex]PN'\leq PN[/tex]
nên [tex]PM.PN\geq PB.PC[/tex] (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi M trùng với B, N trùng với C.

Xong rồi đó bạn. Còn bài 1 thì để mình xem đã. Mình kém đại số lắm. Hình chỉ biết chút ít thui
 
Last edited by a moderator:
U

ultimate2012

Nhờ bạn làm cho mình bài này:
Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi là 2010.
CMR: [tex]\frac{ab}{1005-c}+\frac{bc}{1005-a}+\frac{ca}{1005-b}\geq 4020[/tex]
Mình rất cảm ơn bạn. Mong bạn giúp
 
H

huythai08

mình kg hiểu tại sao góc ABC = ACB >= góc BMP
bạn giải thích dùm mình nhé
 
U

ultimate2012

Còn tùy vị trí của M bạn ạ. Ở đây mình vẽ M nằm trên tia đối của tia BA nên BAC là góc ngoài của tam giác BMP.. Còn nếu bạn vẽ M nằm trên cạnh AB thì bạn chứng minh theo N.
 
H

huythai08

mình hiểu rồi nhưng bài 4 tại sao AB = CD ?
bạn giải thích dùm nhé, đề bài kg cho AB = CD
 
H

huythai08

Tìm phân số biết mẫu nhỏ hơn bình phương tử 1 đơn vị.
Nếu ta tăng cả tử và mẫu lên 2 đơn vị thì được một phân số lớn hơn 1/3.
Nếu ta giảm cả tử và mẫu đi 3 đơn vị thì được một phân số dương nhỏ hơn 1/10.
Nhờ các bạn giải giúp bằng phương pháp lập luận.
 
P

pengok_hp96

sax nhưng pà nào giải giúp chỗ bài trên đó ab phần 1005-c +bc phần 1005-a +ca phần 1005 - b lờn hơn hoăc =



***************I LOVE YOU ******************
 
U

ultimate2012

AB=CD là do AB đối xứng với nhau qua đường nối tâm OO' của hai đường tròn. Cái này dễ chứng minh mà bạn. Không thì bạn xem trong sách Nâng cao phát triển Toán 9 Tập 1, trang 114. Ví dụ 23 có 1 bài tương tự đó.
 
U

ultimate2012

Tìm phân số biết mẫu nhỏ hơn bình phương tử 1 đơn vị.
Nếu ta tăng cả tử và mẫu lên 2 đơn vị thì được một phân số lớn hơn 1/3.
Nếu ta giảm cả tử và mẫu đi 3 đơn vị thì được một phân số dương nhỏ hơn 1/10.
__________________________________________________________________
Đặt phân số cần tìm là: [tex]\frac{x}{x^{2}-1}[/tex]
Nếu ta tăng cả tử và mẫu lên 2 đơn vị thì được một phân số lớn hơn 1/3
[tex]\Rightarrow \frac{x+2}{x^{2}+1}\geq \frac{1}{3}[/tex]
[tex]\Rightarrow 3x+6\geq x^{2}+1[/tex]
[tex]\Rightarrow 3x+5\geq x^{2}[/tex] (1)
Nếu ta giảm cả tử và mẫu đi 3 đơn vị thì được một phân số dương nhỏ hơn 1/10
[tex]\Rightarrow 0\leq \frac{x-3}{x^{2}-4}\leq \frac{1}{10}[/tex] (x> 3) (do [tex]0\leq \frac{x-3}{x^{2}-4}[/tex] )
[tex]\Rightarrow 10x-30\leq x^{2}-4[/tex] (x> 3)
[tex]\Rightarrow 10x-26\leq x^{2}[/tex] (2) (x> 3)
Từ (1) và (2) suy ra: [tex]3x+5\geq 10x-26[/tex]
[tex]\Rightarrow 7x\leq 31[/tex]
[tex]\Rightarrow x= 4[/tex] (do x>3)
Vậy phân số cần tìm là: [tex]\frac{4}{15}[/tex]
___________________________________________________
Nhân tiện mình cũng nói luôn bài:
Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi là 2010.
CMR: [tex]\frac{ab}{1005-c}+\frac{bc}{1005-a}+\frac{ca}{1005-b}\geq 4020[/tex]
mà mình hỏi ở phía trên mình đã tìm ra lời giải. Bạn nào có nhu cầu biết thì hỏi trên chuyên mục này.
 
Last edited by a moderator:
H

huythai08

Bạn giải chưa chi tiết
nói vậy ai hiểu chứ. Giống ghi đề lại quá
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom