Toán bài toán cực trị

[Quốc Trường]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho a,b,c > 0 và a+b+c [tex]\leq \frac{3}{2}[/tex]
Tìm GTNN: S= [tex]\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}} + \sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^{2}}}+ \sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^{2}}}[/tex]
2. Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=10
Tìm GTLN của A= [tex]a^{2}b^{3}c^{5}[/tex]
@chi254 @huuthuyenrop2 @Nguyễn Xuân Hiếu @nhokcute1002 @Nữ Thần Mặt Trăng @Tony Time

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

1. Cho a,b,c > 0 và a+b+c [tex]\leq \frac{3}{2}[/tex]
Tìm GTNN: S= [tex]\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}} + \sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^{2}}}+ \sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^{2}}}[/tex]

1.
Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:
$(1+16)(a^2+\dfrac1{b^2})\le (a+\dfrac 4b)^2$.
$\Rightarrow \sqrt{a^2+\dfrac1{b^2}}\ge \dfrac1{\sqrt{17}}(a+\dfrac 4b)$.
Tương tư: $\sqrt{b^2+\dfrac1{c^2}}\ge \dfrac1{\sqrt{17}}(b+\dfrac 4c);\sqrt{c^2+\dfrac1{a^2}}\ge \dfrac1{\sqrt{17}}(c+\dfrac 4a)$.
$\Rightarrow S\ge \dfrac1{\sqrt{17}}(a+b+c+\dfrac 4a+\dfrac 4b+\dfrac 4c)\ge \dfrac1{\sqrt{17}}(a+b+c+\dfrac{36}{a+b+c})$.
$=\dfrac1{\sqrt{17}}\left[ a+b+c+\dfrac 9{4(a+b+c)}+\dfrac{135}{4(a+b+c)} \right] \ge \dfrac{3\sqrt{17}}2$. (AM-GM)
Dấu '=' xảy ra khi $a=b=c=\dfrac12$.
Vậy $S_{min}=\dfrac{3\sqrt{17}}2$ khi $a=b=c=\dfrac12$.

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

bài 2 nhé :v
$a^2b^3c^5
=2^2.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}.3^3.\dfrac{b}{3}.\dfrac{b}{3}.\dfrac{b}{3}.5^5.\dfrac{c}{5}.\dfrac{c}{5}.\dfrac{c}{5}
\\\leq 2^2.3^3.5^5.(\dfrac{[\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+...]}{8})^8
\\=2^2.3^3.5^5.\dfrac{(a+b+c)^8}{{8^8}}=...$