Toán Bài toán cực trị

[Erza scarlet]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1,Cho các số thực x,y TM: [tex]x^{2}+y^{2}=1[/tex]
Tìm GTNN của bt: P=[tex]\frac{4x^{2}+2xy-1}{2xy-2y^{2}+3}[/tex]
2,Tìm GTLN của hs: [tex]y=x.\sqrt{3-x^{2}}[/tex]

 

[Trung Lê Tuấn Anh]

1,Cho các số thực x,y TM:

Tìm GTNN của bt: P=

[tex]P=\frac{3x^{2}+2xy-y^{2}}{3x^{2}+2xy+y^{2}}=1-\frac{2y^{2}}{3x^{2}+2xy+y^{2}}[/tex]
vì [tex]x^{2}+y^{2}=1[/tex]
với y =0 thì P=1
với y khác 0
[tex]\rightarrow P=1-\frac{2}{3\frac{x^{2}}{y^{2}}+2\frac{x}{y}+1}[/tex]
[tex]=1-\frac{2}{3(\frac{x}{y}+\frac{1}{3})^{2}+\frac{2}{3}}\geq -2[/tex]
vậy minP=-2
dấu = [tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=1\\ \frac{x}{y}=\frac{-1}{3} \end{matrix}\right.[/tex]

 

[young01]

2,Tìm GTLN của hs: [tex]y=x.\sqrt{3-x^{2}}[/tex]

đk: [tex]3-x^{2}\geq 0 <=> -\sqrt{3}\leq x \leq \sqrt{3}[/tex]
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho x^2 và 3-x^2 ta có:
[tex]x^{2}+(3-x^{2}) \geq 2x\sqrt{3-x^2}[/tex] <=> [tex]\left | x \right |\sqrt{3-x^{2}}\leq \frac{3}{2}[/tex] => [tex]x\sqrt{3-x^{2}}\leq \frac{3}{2}[/tex]
Dấu "=" xảy ra <=> x^2 = 3 - x^2 => x= [tex]\sqrt{\frac{3}{2}}[/tex]