Bài toán biến đổi có điều kiện dựa vào các tính chất đã cho :)

[nhjm_kut3]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 2 số dương x,y TM x +y = 2.
Cmr: [TEX]x^2y^2(x^2+y^2) \leq 2[/TEX]

 

[changbg]

Cho 2 số dương x,y TM x +y = 2.
Cmr: [TEX]x^2y^2(x^2+y^2) \leq 2[/TEX]

từ giả thiết
bình phương nó lên
ta có
[TEX]4=(x+y)^2 \geq 4xy[/TEX]
[TEX] \Rightarrow xy \leq 1[/TEX]
ta có [TEX]x^2+y^2 = 4-2xy[/TEX]
thay xuống
[TEX]x^2y^2(4-2xy)=2. ( x^2y^2(2-xy) ) = 4 [xy.(2-xy)]. \frac{xy}{2}[/tex]
[TEX] \leq (xy+2-xy)^2 . \frac{1}{2} \leq2 [/TEX]
ok???
bạn xem rùi cho ý kiến nha
bước cuối ( màu đỏ ) tớ thay xy bằng 1


nếu đúng thì thanks cái nha

 

[baby_1995]

Cho 2 số dương x,y TM x +y = 2.
Cmr: [TEX]x^2y^2(x^2+y^2) \leq 2[/TEX]

ta có: x> o ; y>0
[TEX] <=> (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2 \geq 0[/TEX]
[TEX]<=> x + y - 2\sqrt{xy} \geq 0[/TEX]
[TEX]<=> x + y \geq 2\sqrt{xy}[/TEX]
[TEX]<=> 2 \geq 2\sqrt{xy}[/TEX]
[TEX]<=> \sqrt{xy} \leq 1[/TEX]
[TEX]<=> xy \leq 1[/TEX]
để cm: [TEX]x^2y^2(x^2+y^2) \leq 2[/TEX]
ta cần cm: [TEX]x^2y^2(x^2+y^2) - 2 \leq 0[/TEX]
ta có: [TEX]x^2y^2(x^2+y^2) - 2 [/TEX]
= [TEX]x^2y^2[(x+y)^2) - 2xy] - 2 [/TEX] (1)
ta có giá trị lớn nhất của xy là 1 vậy đặt xy = 1 và x+y=2 vào (1) ta được:
(1) = [TEX]1(4 - 2) - 2 = 0[/TEX]
vaayk giá trị lớn nhất của [TEX]x^2y^2[(x+y)^2) - 2xy] - 2 [/TEX] là 0 => [TEX]x^2y^2[(x+y)^2) - 2xy] - 2 \leq 0 [/TEX] hay là [TEX]x^2y^2(x^2+y^2) \leq 2[/TEX]

 

[nhjm_kut3]

từ giả thiết
bình phương nó lên
ta có
[TEX]4=(x+y)^2 \geq 4xy[/TEX]
[TEX] \Rightarrow xy \leq 1[/TEX]
ta có [TEX]x^2+y^2 = 4-2xy[/TEX]
thay xuống
[TEX]x^2y^2(4-2xy)=2. ( x^2y^2(2-xy) ) = 4 [xy.(2-xy)]. \frac{xy}{2}[/TEX]
[TEX] \leq (xy+2-xy)^2 . \frac{1}{2} \leq2 [/TEX]
ok???
bạn xem rùi cho ý kiến nha
bước cuối ( màu đỏ ) tớ thay xy bằng 1


nếu đúng thì thanks cái nha

Bạn ui chuẩn r` bn ạ nhg mờ nếu mà bn thay xy=1 thì sao k thay luôn cái đoạn [TEX]x^2y^2(4-2xy)[/TEX] bn nhỉ..đằg nào nó chả ra

 

[changbg]

không làm thế được chứ
vì tớ biến đổi xy<=1
nếu thay vào thì tức là x^2y^2 càng lớn nhưng 4-2xy lại càng nhỏ
nên ko nhân vào mà vẫn giữ dc dấu BDT

 

[nhjm_kut3]

Bn ui nhg sao
[TEX]4 [xy.(2-xy)]. \frac{xy}{2}[/TEX] lại
[TEX] \leq (xy+2-xy)^2 . \frac{1}{2} \leq2 [/TEX] :|

 

[changbg]

Bn ui nhg sao
[TEX]4 [xy.(2-xy)]. \frac{xy}{2}[/TEX] lại
[TEX] \leq (xy+2-xy)^2 . \frac{1}{2} \leq2 [/TEX] :|

tớ làm kĩ hơn nhé
áp dụng BDT [TEX]4ab \leq (a+b)^2[/TEX] với [TEX]a= xy ; b = 2-xy [/TEX]
[TEX]4 (xy).(2-xy)\leq(xy+2-xy)^2 [/TEX] (1)
lại có
[TEX]xy \leq 1[/TEX] nên [TEX]\frac{xy}{2} \leq\frac{1}{2} [/TEX] (2)
từ (1) và (2)
nhân theo vế ta có


[TEX]4 [xy.(2-xy)]. \frac{xy}{2} \leq (xy+2-xy)^2 . \frac{1}{2} \leq2 [/TEX]