Toán Bài Tập

[Phạm Đức Vượng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 3: Tìm tỉ lệ 3 cạnh của một tam giác, biết rằng cộng lần lượt độ dài hai đường cao của tam giác đó thì tỷ lệ các kết quả là 5: 7: 8.

Câu 4: Cho góc xoy, trên hai cạnh ox và oy lần lượt lấy các điểm A và B để cho AB có độ dài nhỏ nhất.

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Câu $1:$
$a)A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{n^2}<\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{(n-1).n}$
$\implies A<1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}$
$\implies A<1-\dfrac{1}{n}<1$ (vì $n\geq 2$)
$b)B=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{6^2}+...+\dfrac{1}{(2n)^2}\\
=\dfrac{1}{(2.1)^2}+\dfrac{1}{(2.2)^2}+\dfrac{1}{(2.3)^2}+...+\dfrac{1}{(2.n)^2}\\
=\dfrac{1}{2^2}\left ( \dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2} \right )\\
=\dfrac{1}{4}\left ( 1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2} \right )$
Mà $\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}<1$ (theo câu a)
$\implies B=\dfrac{1}{4}\left ( 1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2} \right )<\dfrac{1}{4}(1+1)=\dfrac{1}{2}$

 

[Ray Kevin]

Câu 3: Tìm tỉ lệ 3 cạnh của một tam giác, biết rằng cộng lần lượt độ dài hai đường cao của tam giác đó thì tỷ lệ các kết quả là 5: 7: 8.

Gọi 3 đường cao của tam giác lần lượt là x,y,z (đk: x,y,z>0)
Ta có:

Gọi 3 cạnh của tam giác tương ứng là a,b,c(đk : a,b,c>0)
Ta có:

 

[iceghost]

Câu 3: Tìm tỉ lệ 3 cạnh của một tam giác, biết rằng cộng lần lượt độ dài hai đường cao của tam giác đó thì tỷ lệ các kết quả là 5: 7: 8.

Câu 4: Cho góc xoy, trên hai cạnh ox và oy lần lượt lấy các điểm A và B để cho AB có độ dài nhỏ nhất.

2. Dễ thấy $$\alpha > \underbrace{1 + 1 + 1 + \ldots + 1}_n = n$$
Áp dụng bđt AM-GM ta có $$\sqrt[n+1]{\dfrac{n+1}n} = \sqrt[n+1]{\underbrace{1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1}_n \cdot \left(1 + \dfrac1n \right)} \leqslant \dfrac{1 + 1 + \ldots + 1 + \left(1 + \dfrac1n\right)}{n+1} = \dfrac{n+1+\dfrac1n}{n+1} = 1 + \dfrac1n - \dfrac1{n+1}$$
Dấu '=' tại $1 = 1 + \dfrac1n \iff \dfrac1n = 0$ (loại). Dấu '=' không xảy ra
Khi đó $$\alpha < 1 + \dfrac12 - \dfrac13 + 1 + \dfrac13 -\dfrac14 + \ldots + 1 + \dfrac1n - \dfrac1{n+1} = n + \dfrac12 - \dfrac1{n+1} < n + 1$$
Ta có $n < \alpha < n+1$ nên phần nguyên của $\alpha$ là $n$

4. $AB$ có độ dài nhỏ nhất khi $A, B$ trùng $O$