- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,705
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
1 trong các ứng dụng quan trọng của tích phân đó là tính diện tích hình phẳng. Có nhiều bạn vẫn áp dụng công thức nhưng chưa hiểu hoàn toàn về nó, dẫn tới có những bài bị tính sai. Sau đây là cách hiểu của mình về phần này.
Kiến thức cơ bản: diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường đồ thị hàm số y=f(x) bất kì với trục Ox trên 1 đoạn [a;b] được tính bằng: [tex]y=\int_{a}^{b}f(x)dx[/tex]
Với trường hợp diện tích giới hạn bởi 2 đồ thị hàm số cho trước, thì công thức tính là:
[tex]y=\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx[/tex]
Tóm lại, hiểu nôm na dùng tích phân tính diện tích chính là tích lũy chênh lệch độ cao giữa 2 đồ thị, ngay ở trường hợp f(x) và Ox nêu ở trên cũng là trường hợp đặc biệt của trường hợp 2 này(g(x)=0)
Có thể nhìn thấy các đường màu đỏ chính là hiệu chênh lệch độ cao giữa f(x) và g(x) . Và khi ta tích lũy đủ trên đoạn [a;b], thì các đường màu đỏ sẽ dày đặc bao phủ toàn bộ , cho ta kết quả phần diện tích cần tính. Vì diện tích là dương, nên chênh lệch độ cao cũng phải dương, do đó nếu không chắc chắn thì ta phải đóng trị tuyệt đối : [tex]y=\int_{a}^{b}|f(x)-g(x)|dx[/tex]
Với trường hợp đồ thị hàm số cho ở dạng x=f(y) thì tư duy vẫn tương tự, không khác gì so với y=f(x)
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường đồ thị:
(C): [TEX]y^2-2y+x=0[/TEX] và d: x+y=0
Để tính diện tích hình phẳng, đầu tiên phải biến đổi phương trình của về dạng y=f(x) hay x=f(y) . Tùy theo cái nào dễ hơn mà chúng ta sẽ chọn. Với bài toán này, rõ ràng [TEX]y^2-2y+x=0<=>x=2y-y^2[/TEX] là biến đổi 1 bước ra luôn, còn nếu muốn tính y=f(x) thì phải giải pt bậc 2, rất xấu.
Cả 2 hàm mô tả đều phải tính theo 1 dạng y=f(x) hoặc x=f(y) mới tính được tích phân cho kết quả đúng. Vì vậy pt (d) sẽ viết lại x=-y.
Giờ lấy khoảng giới hạn tính diện tích ( cận tích phân ) bằng cách giải :
[TEX]2y-y^2=-y<=>y=0;y=3[/TEX]
Trên đoạn y từ 0 đến 3, rõ ràng hàm [TEX]f(y_1)=2y-y^2[/TEX] luôn nằm cao hơn so với [TEX]f(y_2)=-y[/TEX], phần màu đỏ mình vẽ chính là độ cao chênh lệch của 2 điểm bất kì có cùng tung độ thuộc 2 đồ thị
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là : [tex]\int_{0}^{3}2y-y^2-(-y)dy=\int_{0}^{3}3y-y^2dy=\frac{9}{2}(dvdt)[/tex]
Nếu đề không cho sẵn đồ thị và các bạn không tưởng tượng hay tự vẽ ra đồ thị để nhìn , thì cách tốt nhất là đóng trị tuyệt đối lại: [tex]\int_{0}^{3}|f(y_1)-f(y_2)|dy[/tex] . Máy tính hỗ trợ tính tích phân với hàm trị tuyệt đối nên đó cũng không phải là vấn đề quá lớn
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: [TEX](P):y^2=2x;(d):x-2y+2;Ox[/TEX]
Cách 1: tính x theo y, ta có :
[TEX](P):x=\frac{y^2}{2}, (d): x=2y-2[/TEX]
Giải phương trình tung độ giao điểm để lấy cận tích phân, tìm được y=2
Hình vẽ mô phỏng diện tích cần tính :
Từ 0 đến 2 (nhìn theo Oy), thì đồ thị (P) luôn cao hơn so với đồ thị (d) (để cho dễ nhìn các bạn nghiêng đầu sang phải 90 độ là sẽ thấy nó cao hơn ) , vậy diện tích cần tìm là :
[tex]\int_{0}^{2}\frac{y^2}{2}-(2y-2)dy=\frac{4}{3}[/tex]
Cách 2 : Tính y theo x:
Ta có: [tex](P):y=\sqrt{2x},(d):y=\frac{x+2}{2}[/tex]
Giải phương trình hoành độ giao điểm để lấy cận tính diện tích, được x=4. Khi đó ta có thể thấy phần diện tích cần tính bằng:
Phần diện tích viền đỏ này, tức là diện tích giới hạn bởi [TEX]y=\frac{x+2}{2}[/TEX] và Ox trên đoạn x chạy từ -2 đến 2: [tex]\int_{-2}^{2}\frac{x+2}{2}dx[/tex]
Trừ đi phần diện tích này :
Là diện tích giới hạn bởi : [TEX](P):y=\sqrt{2x}[/TEX] và Ox trên đoạn x chạy từ 0 đến 2 :
[tex]\int_{0}^{2}\sqrt{2x}dx[/tex]
Vậy phần diện tích gạch chéo cần tính bằng:
[tex]\int_{-2}^{2}\frac{x+2}{2}dx-\int_{0}^{2}\sqrt{2x}dx[/tex] cũng cho kết quả là 4/3
Như vậy, nếu như đề cho đồ thị hoặc chúng ta có thể vẽ nhanh đúng dạng đồ thị, thì yên tâm là chọn đáp án không bao giờ sai.
1 ví dụ minh họa cuối :
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P1) (P2) có hàm tương ứng là [TEX]f_1(x),f_2(x)[/TEX] và (H1),(H2) có hàm tương ứng là [TEX]h_1(x),h_2(x)[/TEX]
Có thể dễ dàng nhìn thấy trên đoạn từ căn bậc 3 của 2 đến 2 này
thì phần diện tích khoanh đỏ được tính bởi tích phân của chênh lệch độ cao giữa (P1) và (H1): [tex]\int_{\sqrt[3]{2}}^{2}f_1(x)-h_1(x)dx[/tex]
Còn đoạn còn lại thì là tích phân của chênh lệch độ cao giữa (H2) và (P2) :
[tex]\int_{2}^{2\sqrt[3]{4}}(h_2(x)-f_2(x))dx[/tex]
Vậy diện tích cần tìm là : [tex]\int_{\sqrt[3]{2}}^{2}f_1(x)-h_1(x)dx[/tex]+[tex]\int_{2}^{2\sqrt[3]{4}}(h_2(x)-f_2(x))dx[/tex]
Vì là trình bày chữ nên khá là khó diễn đạt, cách mình nói ở đây cũng là cách hiểu của mình. Nếu ai còn thắc mắc gì có thể hỏi trực tiếp xuống dưới. Chúc mọi người học tốt!
Kiến thức cơ bản: diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường đồ thị hàm số y=f(x) bất kì với trục Ox trên 1 đoạn [a;b] được tính bằng: [tex]y=\int_{a}^{b}f(x)dx[/tex]
Với trường hợp diện tích giới hạn bởi 2 đồ thị hàm số cho trước, thì công thức tính là:
[tex]y=\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx[/tex]
Tóm lại, hiểu nôm na dùng tích phân tính diện tích chính là tích lũy chênh lệch độ cao giữa 2 đồ thị, ngay ở trường hợp f(x) và Ox nêu ở trên cũng là trường hợp đặc biệt của trường hợp 2 này(g(x)=0)
Có thể nhìn thấy các đường màu đỏ chính là hiệu chênh lệch độ cao giữa f(x) và g(x) . Và khi ta tích lũy đủ trên đoạn [a;b], thì các đường màu đỏ sẽ dày đặc bao phủ toàn bộ , cho ta kết quả phần diện tích cần tính. Vì diện tích là dương, nên chênh lệch độ cao cũng phải dương, do đó nếu không chắc chắn thì ta phải đóng trị tuyệt đối : [tex]y=\int_{a}^{b}|f(x)-g(x)|dx[/tex]
Với trường hợp đồ thị hàm số cho ở dạng x=f(y) thì tư duy vẫn tương tự, không khác gì so với y=f(x)
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường đồ thị:
(C): [TEX]y^2-2y+x=0[/TEX] và d: x+y=0
Để tính diện tích hình phẳng, đầu tiên phải biến đổi phương trình của về dạng y=f(x) hay x=f(y) . Tùy theo cái nào dễ hơn mà chúng ta sẽ chọn. Với bài toán này, rõ ràng [TEX]y^2-2y+x=0<=>x=2y-y^2[/TEX] là biến đổi 1 bước ra luôn, còn nếu muốn tính y=f(x) thì phải giải pt bậc 2, rất xấu.
Cả 2 hàm mô tả đều phải tính theo 1 dạng y=f(x) hoặc x=f(y) mới tính được tích phân cho kết quả đúng. Vì vậy pt (d) sẽ viết lại x=-y.
Giờ lấy khoảng giới hạn tính diện tích ( cận tích phân ) bằng cách giải :
[TEX]2y-y^2=-y<=>y=0;y=3[/TEX]
Trên đoạn y từ 0 đến 3, rõ ràng hàm [TEX]f(y_1)=2y-y^2[/TEX] luôn nằm cao hơn so với [TEX]f(y_2)=-y[/TEX], phần màu đỏ mình vẽ chính là độ cao chênh lệch của 2 điểm bất kì có cùng tung độ thuộc 2 đồ thị
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là : [tex]\int_{0}^{3}2y-y^2-(-y)dy=\int_{0}^{3}3y-y^2dy=\frac{9}{2}(dvdt)[/tex]
Nếu đề không cho sẵn đồ thị và các bạn không tưởng tượng hay tự vẽ ra đồ thị để nhìn , thì cách tốt nhất là đóng trị tuyệt đối lại: [tex]\int_{0}^{3}|f(y_1)-f(y_2)|dy[/tex] . Máy tính hỗ trợ tính tích phân với hàm trị tuyệt đối nên đó cũng không phải là vấn đề quá lớn
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: [TEX](P):y^2=2x;(d):x-2y+2;Ox[/TEX]
Cách 1: tính x theo y, ta có :
[TEX](P):x=\frac{y^2}{2}, (d): x=2y-2[/TEX]
Giải phương trình tung độ giao điểm để lấy cận tích phân, tìm được y=2
Hình vẽ mô phỏng diện tích cần tính :
Từ 0 đến 2 (nhìn theo Oy), thì đồ thị (P) luôn cao hơn so với đồ thị (d) (để cho dễ nhìn các bạn nghiêng đầu sang phải 90 độ là sẽ thấy nó cao hơn ) , vậy diện tích cần tìm là :
[tex]\int_{0}^{2}\frac{y^2}{2}-(2y-2)dy=\frac{4}{3}[/tex]
Cách 2 : Tính y theo x:
Ta có: [tex](P):y=\sqrt{2x},(d):y=\frac{x+2}{2}[/tex]
Giải phương trình hoành độ giao điểm để lấy cận tính diện tích, được x=4. Khi đó ta có thể thấy phần diện tích cần tính bằng:
Phần diện tích viền đỏ này, tức là diện tích giới hạn bởi [TEX]y=\frac{x+2}{2}[/TEX] và Ox trên đoạn x chạy từ -2 đến 2: [tex]\int_{-2}^{2}\frac{x+2}{2}dx[/tex]
Trừ đi phần diện tích này :
Là diện tích giới hạn bởi : [TEX](P):y=\sqrt{2x}[/TEX] và Ox trên đoạn x chạy từ 0 đến 2 :
[tex]\int_{0}^{2}\sqrt{2x}dx[/tex]
Vậy phần diện tích gạch chéo cần tính bằng:
[tex]\int_{-2}^{2}\frac{x+2}{2}dx-\int_{0}^{2}\sqrt{2x}dx[/tex] cũng cho kết quả là 4/3
Như vậy, nếu như đề cho đồ thị hoặc chúng ta có thể vẽ nhanh đúng dạng đồ thị, thì yên tâm là chọn đáp án không bao giờ sai.
1 ví dụ minh họa cuối :
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P1) (P2) có hàm tương ứng là [TEX]f_1(x),f_2(x)[/TEX] và (H1),(H2) có hàm tương ứng là [TEX]h_1(x),h_2(x)[/TEX]
Có thể dễ dàng nhìn thấy trên đoạn từ căn bậc 3 của 2 đến 2 này
thì phần diện tích khoanh đỏ được tính bởi tích phân của chênh lệch độ cao giữa (P1) và (H1): [tex]\int_{\sqrt[3]{2}}^{2}f_1(x)-h_1(x)dx[/tex]
Còn đoạn còn lại thì là tích phân của chênh lệch độ cao giữa (H2) và (P2) :
[tex]\int_{2}^{2\sqrt[3]{4}}(h_2(x)-f_2(x))dx[/tex]
Vậy diện tích cần tìm là : [tex]\int_{\sqrt[3]{2}}^{2}f_1(x)-h_1(x)dx[/tex]+[tex]\int_{2}^{2\sqrt[3]{4}}(h_2(x)-f_2(x))dx[/tex]
Vì là trình bày chữ nên khá là khó diễn đạt, cách mình nói ở đây cũng là cách hiểu của mình. Nếu ai còn thắc mắc gì có thể hỏi trực tiếp xuống dưới. Chúc mọi người học tốt!
