Cho (P): x-2y+2z-5=0 và A(-3, 0; 1) , B(1;-1;3). Trong các đường thẳng đi qua điểm A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.
Tập hợp các đường thẳng (d) là mặt phẳng (Q) // (P), nên để khoảng cách từ B đến (d) nhỏ nhất thì khoảng cách đó chính bằng khoảng cách từ B đến (Q).
(Q) // (P) và đi qua A nên (Q): x - 2y + 2z + 1 = 0.
[tex]\Rightarrow d(B,(Q)) = \frac{10}{3} = d(B,(d))[/tex]
Gọi H(x;y;z) là đường cao từ B xuống (d) [tex]\Rightarrow BH = (x-1;y+1;z-3)[/tex]
[tex]BH\tex{ }//\tex{ }n_P \Rightarrow \frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-3}{2} \Rightarrow \left\{y+1=2(1-x)\\z-3=2(x-1)[/tex]
[tex]BH = \frac{10}{3} \Rightarrow (x-1)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=\frac{100}{9}[/tex]
[tex]\Rightarrow (x-1)^2+4(x-1)^2+4(x-1)^2=\frac{100}{9}[/tex]
[tex]\Rightarrow (x-1)^2=\frac{100}{81} \Rightarrow \left\{x=\frac{19}{9}\\x=-\frac{1}{9}[/tex]
[tex]\Rightarrow \left\{H(\frac{19}{9};-\frac{29}{9};\frac{47}{9})\\H(-\frac{1}{9};\frac{11}{9};\frac{7}{9})[/tex]
Thấy [tex]H(-\frac{1}{9};\frac{11}{9};\frac{7}{9}) \in (Q)[/tex] nên đây là chân đường vuông góc từ B xuống [tex]\Rightarrow AH = (\frac{26}{9};\frac{11}{9};-\frac{2}{9})\tex{ }//\tex{ }\vec{u}=(26;11;-2)[/tex]
[tex]\Rightarrow (d): \left\{x=-3+26t\\y=11t\\z=1-2t[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
