Bài tập hình không gian

[phocai9a1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho$$\large\Delta$$ABC đều cạnh a. Trên đường thẳng d vuông góc với (ABC) tại A lấy S sao cho SA= h. Đường đi qua trực tâm H của $$\large\Delta$$ SBC và vuông góc với (SBC) cắt ( ABC) tại O , cắt d tại K. Tính tích Á.Ak từ đó xác định h theo a để SK ngắn nhất.

 

[puu]

Cho$$\large\Delta$$ABC đều cạnh a. Trên đường thẳng d vuông góc với (ABC) tại A lấy S sao cho SA= h. Đường đi qua trực tâm H của $$\large\Delta$$ SBC và vuông góc với (SBC) cắt ( ABC) tại O , cắt d tại K. Tính tích Á.Ak từ đó xác định h theo a để SK ngắn nhất.

gọi M là trung điểm BC thì SM vg BC.

[TEX]AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}[/TEX]

kẻ BP vg SC thì giao của BP và SC chính là trực tâm H của tam giác SBC
ta có:
OH vg (SBC) suy ra OH vg SC; mà BP vg SC nên (BOP) vg SC,
kéo dài BO cắt AC tại N thì N thuộc (BOP) nên BN vg SC
mà BN vg SA nên BN vg (SAC) \Rightarrow BN vg AC
vậy N là trung điểm của AC nên O là trọng tâm tam giác ABC

[TEX]AO=\frac{2}{3}.AM=\frac{a\sqrt{3}}{3}[/TEX]

ta có; tam giác MHO đồng dạng tam giác MAS nên ta có

[TEX]\frac{SA}{HO}=\frac{AM}{MH} \Rightarrow SA=\frac{AM.OH}{MH}[/TEX]

tam giác AKO đồng dạng tam giác HMO nên

[TEX]\frac{AK}{HM}=\frac{AO}{HO} \Rightarrow AK=\frac{HM.AO}{HO}[/TEX]

vậy
[TEX]AK.SA=AM.AO=\frac{a^2}{2}[/TEX]

b.[TEX]SK=SA+AK \geq 2\sqrt{SA.AK}=\sqrt{2}a[/TEX]
vậy [TEX]Min SK=a\sqrt{2} \Leftrightarrow SA=AK=\frac{a}{\sqrt{2}}[/TEX]