Toán 12 Bài tập đường thẳng

[BW2052001]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm A( a; 0; 0), B(0; b; 0), C( 0; 0; c) với a, b, c là những số dương thay đổi sao cho [tex]a^2 + 4b^2 + 16c^2 = 49[/tex]. Tính tổng [tex]F= a^2 + b^2 +c^2[/tex] sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) là lớn nhất.

 

[idioter]

Hạ $OH\perp (ABC)$
CM được: $\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$
Khoảng cách từ O đến mp (ABC) lớn nhất khi $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$ nhỏ nhất
Sử dụng bất đẳng thức ta có:
$((\frac{1}{a})^{2}+(\frac{1}{b})^{2}+(\frac{1}{c})^{2})(a^{2}+(2b)^{2}+(4c)^{2})\geq (1+2+4)^{2}=49$
$\Rightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq 1$
Dấu '=' xảy ra khi:
$a^{2}=2b^{2}=4c^{2}=\frac{a^{2}+4b^{2}+16c^{2}}{1+2+4}=7$
$\Rightarrow a^{2}=7, b^{2}=\frac{7}{2}, c^{2}=\frac{7}{4}$