Toán Bài tập đại số 9

[le_ngoc_hieu_295]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a,chứng minh:
[TEX]\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+.....+\frac{1}{2005\sqrt{2004}}<2[/TEX]

b,chứng minh:
[TEX]\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{2}+.....+\frac{1}{\sqrt{225}}<28[/TEX]

 

[le_ngoc_hieu_295]

bài 1
phân tích vế trái
nhân tất cả với 1/2 là ra
sau do cm 2a>(a+1)+(a-1)
thế nhé

 

[trungatl]

a,chứng minh:
[TEX]\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+.....+\frac{1}{2005\sqrt{2004}}<2[/TEX]

Với k \geq1 ta có:

[TEX]\frac{1}{(k+1)\sqrt{k}} = \frac{\sqrt{k}}{k(k+1)} = \sqrt{k}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})[/TEX] (cái này bạn làm nháp sẽ ra thôi )
[TEX]= \sqrt{k}(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}})(\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}})[/TEX]
[TEX]< 2( \frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}})[/TEX](vì [TEX]\sqrt{k}(\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}) < 2[/TEX])
Cho k các giá trị từ 1 đến 2005 ta có:
[TEX]\frac{1}{2} < 2(\frac{1}{\sqrt{1}} - \frac{1}{\sqrt{2}})[/TEX]
[TEX] \frac{1}{3\sqrt{2}} < 2(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}) [/TEX]
. . . .
[TEX]\frac{1}{2005\sqrt{2004}} < 2(\frac{1}{\sqrt{2004}}-\frac{1}{\sqrt{2005}})[/TEX]

Cộng từng vế ta có:

[TEX]\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+[/TEX]...[TEX]+\frac{1}{2005\sqrt{2004}} < 2(1-\frac{1}{\sqrt{2005}}) < 2[/TEX]

 

[heocon_friendly_234]

Đúng thì nhớ thanks tớ nha ^^

b,chứng minh:
[TEX]\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{2}+.....+\frac{1}{\sqrt{225}}<28[/TEX]

Ta có:
[TEX]\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{ \sqrt{3}} + .... + \frac{1}{\sqrt{225}}) = \frac{1}{2 \sqrt{2}} + \frac{1}{2 \sqrt{3}} + .... + \frac{1}{2 \sqrt{225}} < \frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + ... + \frac{1}{\sqrt{224} + \sqrt{225}} = \sqrt{225} -1 = 14[/TEX]
Do đó [TEX]\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{2}+.....+\frac{1}{\sqrt{225}}<28[/TEX]

 

[heocon_friendly_234]

Với k \geq1 ta có:

[TEX]\frac{1}{(k+1)\sqrt{k}} = \frac{\sqrt{k}}{k(k+1)} = \sqrt{k}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})[/TEX]
[TEX]= \sqrt{k}(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}})(\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}})[/TEX]
[TEX]< \frac{2\sqrt{k}}{\sqrt{k}}( \frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}})[/TEX]
[TEX]= 2(\frac{1}{\sqrt{k}} - \frac{1}{\sqrt{k+1}})[/TEX]
Cho k các giá trị từ 1 đến 2005, ta có:
[TEX]\frac{1}{2} < 2(\frac{1}{\sqrt{1}} - \frac{1}{\sqrt{2}})[/TEX]
[TEX] \frac{1}{3\sqrt{2}} < 2(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}) [/TEX]
......................
[TEX]\frac{1}{2005\sqrt{2004}} < 2(\frac{1}{\sqrt{2004}}-\frac{1}{\sqrt{2005}})[/TEX]

Cộng từng vế các BĐT trên ta có:

[TEX]\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+[/TEX]...[TEX]+\frac{1}{2005\sqrt{2004}} < 2(1-\frac{1}{\sqrt{2005}}) < 2[/TEx]