Toán [Bài tập] Chuyên đề HSG: Số học

[Blue Plus]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Đây sẽ là nơi các bạn làm bài tập của chuyên đề HSG : Số học. Trước khi làm các bạn nhớ ghé qua topic lý thuyết nhé ^^. Và nhớ rủ mọi người cùng tham gia nữa nè.
Mục bài tập:
0. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA SỐ HỌC

 

[Blue Plus]

Bài tập phần: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA SỐ HỌC

1. Chứng minh:
a. $(n,n+1)=1$
b. $(a,b)=(a,ka\pm b)$ ($k$ là số nguyên dương)
c. Nếu $(a,b)=1$ thì $(a-b,a+b)\le 2$
d. $(p,(p-1)!)=1$ với $p$ là số nguyên tố, $(p-1)!=1\cdot 2\cdot 3\cdot … \cdot (p-1)$.
2. Chứng minh: $(n+1)(n+2)…(2n)\vdots 2^n$ với $n$ là số nguyên dương.
3. Cho $a,b$ là 2 số nguyên tố cùng nhau, chứng minh:
a. $(a,a+b)=1$
b. $(a^2,a+b)=1$
c. $(ab,a+b)=1$

 

[dtlam385]

Mình gửi bài làm câu 2 ạ
[tex]\inline (n+1)(n+2)...(2n)=\frac{1.2.3...(n-1)n(n+1)...(2n)}{1.2.3...(n-1)n}=\frac{2.4.6...(2n-2)(2n).1.3...(2n-1)}{1.2.3...(n-1)n}=\frac{2.1.2.2.3.....2.(n-1).2.n.1.3...(2n-1)}{1.2.3...(n-1)n}=\frac{2^{n}.1.2.3...(n-1)n.1.3...(2n-1)}{1.2.3...(n-1)n}=2^{n}.1.3...(2n-1)\vdots 2^{n}[/tex]

 

[Blue Plus]

Các bạn tham gia sôi nổi mình mới đăng đáp án nhé.

Bài tập phần: TÍNH CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ NGUYÊN - Ngày 1.

1. Chứng minh rằng với $n\in \mathbb{Z}$ thì giá trị của biểu thức $B=n(n^2+1)(n^2+4)$ luôn chia hết cho $5$.
2. Cho $a,b,c$ là các số nguyên, chứng minh rằng $a^3+b^3+c^3\vdots 6$ khi và chỉ khi $a+b+c\vdots 6$.
3. Chứng minh rằng tổng lập phương của $3$ số nguyên liên tiếp chia hết cho $9$.
4. Cho $a,b$ là các số nguyên, chứng minh rằng: $a^3b-ab^3$ chia hết cho $6$.
5. Chứng minh rằng với mọi $n\in \mathbb{N}$ thì $n(2n+7)(7n+1)\vdots 6$.

 

[Xuân Hải Trần]

Các bạn tham gia sôi nổi mình mới đăng đáp án nhé.

Bài tập phần: TÍNH CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ NGUYÊN - Ngày 1.

1. Chứng minh rằng với $n\in \mathbb{Z}$ thì giá trị của biểu thức $B=n(n^2+1)(n^2+4)$ luôn chia hết cho $5$.
2. Cho $a,b,c$ là các số nguyên, chứng minh rằng $a^3+b^3+c^3\vdots 6$ khi và chỉ khi $a+b+c\vdots 6$.
3. Chứng minh rằng tổng lập phương của $3$ số nguyên liên tiếp chia hết cho $9$.
4. Cho $a,b$ là các số nguyên, chứng minh rằng: $a^3b-ab^3$ chia hết cho $6$.
5. Chứng minh rằng với mọi $n\in \mathbb{N}$ thì $n(2n+7)(7n+1)\vdots 6$.

Em mới học về số nguyên. Cho em làm câu 1 và câu 4 ạ ^^ ( Cho em chụp phần em ghi ở word vì em không biết đánh kí tự ạ ) :<

​

 

[Blue Plus]

Mình gửi bài làm câu 2 ạ
[tex]\inline (n+1)(n+2)...(2n)=\frac{1.2.3...(n-1)n(n+1)...(2n)}{1.2.3...(n-1)n}=\frac{2.4.6...(2n-2)(2n).1.3...(2n-1)}{1.2.3...(n-1)n}=\frac{2.1.2.2.3.....2.(n-1).2.n.1.3...(2n-1)}{1.2.3...(n-1)n}=\frac{2^{n}.1.2.3...(n-1)n.1.3...(2n-1)}{1.2.3...(n-1)n}=2^{n}.1.3...(2n-1)\vdots 2^{n}[/tex]

Em mới học về số nguyên. Cho em làm câu 1 và câu 4 ạ ^^ ( Cho em chụp phần em ghi ở word vì em không biết đánh kí tự ạ ) :<

View attachment 193706
View attachment 193814​

Hai bạn làm rất tốt nhé ^^ Vì công việc khá bận thời gian qua nên ngày mai mình sẽ đăng lời giải 2 ngày này nhé. Cảm ơn hai bạn đã tham gia và hi vọng gặp lại hai bạn trong những số tiếp theo ^^

 

[Blue Plus]

Bài tập phần: TÍNH CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ NGUYÊN - Ngày 2.

1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì $3^{2n+1}+2^{n+2}$ chia hết cho $7$.
2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì $2005^n+60^n-1897^n-168^n$ chia hết cho $2004$.
3. Tìm các số tự nhiên $n$ để $2^n-1$ chia hết cho $3$.
4. Chứng minh rằng $2^n+1$ không chia hết cho $7$ với mọi số tự nhiên $n$.