Toán bài tập bất đẳng thức

[Võ Phương Hiền]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/CMR [tex]\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+...+\frac{1}{n^{2}}<\frac{5}{3}[/tex]
2/ Cho a, b, c > 0 thỏa abc = 1
CM [tex]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{3}{a+b+c}\geq 4[/tex]
3/ Cho x, y, z dương thỏa [tex]\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geq 2[/tex]
CMR [tex]xyz\leq 8[/tex]
4/ Cho a, b, c > 0. CMR [tex]\frac{a^{3}}{bc}+\frac{b^{3}}{ac}+\frac{c^3}{ac}\geq \frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a+b+c}[/tex]
5/ Cho a,b,c dương thỏa a+b+c=1. CM [tex]\frac{3}{ab+ac+bc}+\frac{2}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq 14[/tex]
6/ Cho [tex]a,b\geq 0[/tex] thỏa a+b=1. CMR [tex]\frac{1}{ab}+\frac{3}{a^{2}+b^{2}+ab}\geq 8[/tex]
7/ Cho a,b,c không âm thỏa a+b+c=1. CMR [tex]\frac{3}{ab+bc+ca}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq 12[/tex]

 

[thangdatle]

1/ Áp dụng công thức: [tex]k^2>k^2-1=(k-1)(k+1)[/tex] ta có:
[tex]\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2}[/tex]
[tex]<\frac{1}{1}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2.4}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{4.6}+\frac{1}{5.7}...+\frac{1}{(n-2)n}+\frac{1}{(n-1)(n+1)}[/tex]
[tex]=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1})[/tex]
[tex]=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})[/tex]
[tex]<1+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})=\frac{5}{3}[/tex]

 

[thangdatle]

2/ Ta có:
[tex]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{3}{a+b+c}[/tex]
[tex]=a^2c+b^2a+c^2b+\frac{3}{a+b+c}[/tex]
[tex]=\frac{1}{3}[(a^2c+a^2c+b^2a)+(b^2a+b^2a+c^2b)+(c^2b+c^2b+a^2c)]+\frac{3}{a+b+c}[/tex]
[tex]\geq \frac{1}{3}(3\sqrt[3]{a^5b^2c^2}+3\sqrt[3]{b^5c^2a^2}+3\sqrt[3]{c^5a^2b^2})+\frac{3}{a+b+c}[/tex]
[tex]=a+b+c+\frac{3}{a+b+c}=(\frac{a+b+c}{3}+\frac{3}{a+b+c})+\frac{2}{3}(a+b+c)[/tex]
[tex]\geq 2+\frac{2}{3}(3\sqrt[3]{abc})=2+2=4[/tex]
Dấu = xảy ra khi [tex]a=b=c=1[/tex]

 

[thangdatle]

3/ Ta có:
[tex]\frac{1}{1+x}\geq (1-\frac{1}{1+y})+(1-\frac{1}{1+z})=\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\geq 2\sqrt{\frac{yz}{(1+y)(1+z)}}(1)[/tex]
Tương tự ta có:
[tex]\left\{\begin{matrix} \frac{1}{1+y}\geq 2\sqrt{\frac{zx}{(1+z)(1+x)}}(2)\\\frac{1}{1+z}\geq 2\sqrt{\frac{xy}{(1+x)(1+y)}}(3) \end{matrix}\right.[/tex]
Lấy (1).(2).(3) vế theo vế ta được:
[tex]\frac{1}{1+x}.\frac{1}{1+y}.\frac{1}{1+z}\geq \frac{8xyz}{(1+x)(1+y)(1+z)}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow xyz\leq \frac{1}{8}[/tex]
Sửa đề luôn rồi nhé

 

[thangdatle]

6/ [tex]\frac{1}{ab}+\frac{3}{a^2+b^2+ab}=(\frac{\frac{1}{3}}{ab}+\frac{3}{a^2+b^2+ab})+\frac{2}{3ab}[/tex]
[tex]\geq \frac{(\frac{1}{\sqrt{3}}+\sqrt{3})^2}{a^2+b^2+2ab}+\frac{2}{\frac{3(a+b)^2}{4}}[/tex]
[tex]=\frac{16}{3}+\frac{8}{3}=8[/tex]

 

[thangdatle]

7/ [tex]\frac{3}{ab+bc+ca}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}[/tex]
[tex]=(\frac{4}{2(ab+bc+ca)}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2})+\frac{1}{ab+bc+ca}[/tex]
[tex]\geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}+\frac{1}{\frac{(a+b+c)^2}{3}}[/tex]
[tex]=9+3=12[/tex]