Bài hay nè

[khanhtm]

:| hic, post lời giải cũng mệt nữa chả :-< mà thôi để mai post, giờ này tớ phải out

 

[khanhtm]

Tiếp nè

5) CmR: tồn tại duy nhất một bộ 3 số twuj nhiên lớn hơn 1 thoả mãn tính chất : tích của 2 số bất kỳ trong 3 số đó cộng với 1 chia hết cho số còn lại

bài này đã từng làm rồi nên làm cũng ngại
thôi thì làm qua loa thôi, để các bạn khác làm tiếp

Gọi 3 số cần tìm là a,b,c.
Ta có:
[TEX]\left\{\begin{matrix}ab+1 \vdots c\\ ac+1 \vdots b \\ bc+1 \vdots a \end{matrix}\right. \Rightarrow (ab+1)(ac+1)(bc+1) \vdots abc[/TEX]
Khai triển và triệt tiêu những hạng tử chia hết cho abc ta được
[TEX]ab+bc+ca+1 \vdots abc \Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{abc} =k[/TEX] (với [TEX]k\in N^*[/TEX])
Theo giả thiết thì dễ dàng suy ra a,b,c phải đôi một nguyên tố cùng nhau => khác nhau nữa
vậy ko mất tính tổng quát có thể giả sử 1<a<b<c
đến đây chú ý đến điều này là ta có thể giải quyết bài toán bạn nào vào giải tiếp đi

 

[jupiter994]

bài này mình cũng chưa ra , chỗ đấy thì mình cũng bik rồi , Khanh' giải được giải nốt đi >.<

 

[khanhtm]

bài này đã từng làm rồi nên làm cũng ngại
thôi thì làm qua loa thôi, để các bạn khác làm tiếp

Gọi 3 số cần tìm là a,b,c.
Ta có:
[TEX]\left\{\begin{matrix}ab+1 \vdots c\\ ac+1 \vdots b \\ bc+1 \vdots a \end{matrix}\right. \Rightarrow (ab+1)(ac+1)(bc+1) \vdots abc[/TEX]
Khai triển và triệt tiêu những hạng tử chia hết cho abc ta được
[TEX]ab+bc+ca+1 \vdots abc \Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{abc} =k[/TEX] (với [TEX]k\in N^*[/TEX])
Theo giả thiết thì dễ dàng suy ra a,b,c phải đôi một nguyên tố cùng nhau => khác nhau nữa
vậy ko mất tính tổng quát có thể giả sử 1<a<b<c
đến đây chú ý đến điều này là ta có thể giải quyết bài toán bạn nào vào giải tiếp đi

thôi đc rồi, làm tiếp
chắc chắn [TEX]a \ge 2; b \ge 3; c\ge 4 \Rightarrow \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2.3.4}<2 \Rightarrow k=1 [/TEX]
Ta có: [TEX]\frac{1}{abc} < \frac{1}{ab} \le \frac{b-a}{ab}=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 1< \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}-\frac{1}{b} <\frac{3}{a} \Rightarrow a <3 \Rightarrow a=2[/TEX]
Thay a=2 vào ta được: [TEX]\frac{1}{2}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{abc}=1 \Rightarrow \frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{abc}=\frac{1}{2}[/TEX]
1 cách tương tự, ta có: [TEX]\frac{1}{abc} <\frac{1}{bc} \le \frac{c-b}{bc}=\frac{1}{b}-\frac{1}{c}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{1}{2}<+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c} =\frac{2}{b} \Rightarrow b <4 \Rightarrow b=3[/TEX] (vì b>a)
Suy ra c=7
Vậy có 1 (a,b,c) duy nhất thỏa mãn là (2,3,7)