Vật lí 12 Bài 5: Tổng Hợp Hai Dao Động Điều Hòa Cùng Phương, Cùng Tần Số. Phương Pháp Giản Đồ FRE-NEN

[Rau muống xào]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 5: Tổng Hợp Hai Dao Động Điều Hòa Cùng Phương, Cùng Tần Số. Giản Đồ FRE-NEN​

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM​

1. Vectơ quay​

• Khi điểm [imath]M[/imath] chuyển động tròn đều thì vectơ vị trí [imath]OM[/imath] quay đều với cùng tốc độ góc [imath]\omega[/imath]. Khi ấy [imath]x = A\cos(\omega t + \varphi)[/imath] là phương trình hình chiếu của vectơ quay [imath]OM[/imath]― trên trục [imath]x[/imath].
• Biểu diễn phương trình của dao động điều hòa bằng một vectơ quay được vẽ tại thời điểm ban đầu như hình vẽ. Vectơ quay có những đặc điểm sau đây

Có gốc taị gốc tọa độ của trục [imath]Ox[/imath]; Có độ dài bằng biên độ dao động, [imath]OM = A[/imath]; Hợp với trục [imath]Ox[/imath] một góc bằng pha ban đầu (chọn chiều dương là chiều của đường tròn lượng giác).

​

2. Phương pháp giản đồ Fre-nen​

a) Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số

• Tổng hợp hai dao động thành phần cùng phương : [imath]x_1 = A_1\cos(\omega t + \varphi_1)[/imath] và [imath]x_2 = A_2\cos(\omega t_2 + \varphi_2)[/imath] là chúng ta thực hiện phép tính [imath]x = x_1 + x_2[/imath] và kết quả ta thu được là một dao động tổng hợp x có dạng [imath]x = A\cos(\omega t + \varphi)[/imath]

b) Biểu diễn các dao động điều hòa bằng vectơ quay

Lần lượt vẽ hai vectơ quay [imath]\overrightarrow{OM_1}[/imath] và [imath]\overrightarrow{OM_2}[/imath] biểu diễn hai li độ [imath]x_1 = A_1\cos(\omega t + \varphi_1)[/imath] và [imath]x_2 = A_2\cos(\omega t_2 + \varphi_2)[/imath] tại thời điểm ban đầu. Sau đó ta vẽ vectơ [imath]\overrightarrow{OM}[/imath] là tổng của hai vectơ trên. Vì hai vectơ [imath]\overrightarrow{OM_1}[/imath] và [imath]\overrightarrow{OM_2}[/imath] có cùng một tốc đô góc [imath]\omega[/imath] nên hình bình hành [imath]OM_1MM_2[/imath] không biến dạng và quay với tốc độ góc [imath]\omega[/imath]. Vectơ đường chéo cùng [imath]\overrightarrow{OM}[/imath] là một vectơ quay với tốc độ góc [imath]\omega[/imath] quanh gốc tọa độ [imath]O.[/imath]

​

+ Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số là một dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số với hai dao động đó.
+ Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp được tính bằng các công thức sau đây: [imath]\begin{cases} A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos\Delta \varphi \\ \tan \varphi = \dfrac{A_1\sin\varphi_1+A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1+A_2\cos\varphi_2}\end{cases}[/imath]

3. Ảnh hưởng của độ lệch pha​

Biên độ của dao động tổng hợp phụ thuộc vào các biên độ [imath]A_1, A_2[/imath] và độ lệch pha [imath](\varphi_2 - \varphi_1)[/imath] của các dao động thành phần.

• Nếu các dao động thành phần cùng pha, tức [imath]\Delta \varphi = \varphi_2 - \varphi_1 = 2n\pi, (n = 0, \pm 1, \pm 2,...),[/imath] thì biên độ dao động tổng hợp là lớn nhất và bằng tổng hai biên độ: [imath]A = A_1 + A_2.[/imath]
• Nếu hai dao động thành phần ngược pha, tức [imath]\Delta \varphi = \varphi_2 - \varphi_1 = (2n+1)\pi, (n = 0, \pm 1, \pm 2,...),[/imath] thì biên độ dao động tổng hợp là nhỏ nhất: [imath]A = |A_1 – A_2|.[/imath]

Câu hỏi sách giáo khoa​

C1: ​

Biểu diễn dao động điều hòa [imath]x=3\cos\left(5t−\dfrac{\pi}{3}\right)cm[/imath] bằng một vectơ quay như hình vẽ.

Có gốc tại [imath]O[/imath] Có độ dài là [imath]3 cm[/imath] hợp với trục [imath]Ox[/imath] một góc [imath]60^o[/imath]

​

C2:​

Ta có định lí hàm [imath]\cos[/imath] ta có: [math]\begin{aligned} &A^2=O M_1^2+M_1 M^2 2 O M_1 M_1 M . \cos \widehat{O M_1 M} \\ &\Leftrightarrow A^2=A_1^2+A_2{ }^2 2 A_1 A_2 \cos \left(\pi M_1 O M_2\right) \\ &\Leftrightarrow A^2=A_1^2+A_2^2+2 A_1 A_2 \cos \left(\pi+\widehat{M_1 O M_2}\right) \\ &\Leftrightarrow A^2=A_1^2+A_2{ }^2+2 A_1 A_2 \cos \left(\varphi_1 \varphi_2\right) \end{aligned}[/math]

​

Theo hình vẽ: [imath]\overrightarrow{OM_1}+\overrightarrow{OM_2}=\overrightarrow{OM}[/imath]
Chiếu [imath](1)[/imath] trục [imath]\mathrm{Ox}: \mathrm{A} \cos \varphi=\mathrm{A}_1 \cos \varphi_1+\mathrm{A}_2 \cos \varphi_2[/imath] (2)
Chiếu [imath](1)[/imath] trục [imath]\mathrm{Oy}: \mathrm{A} \sin \varphi=\mathrm{A}_1 \sin \varphi_1+\mathrm{A}_2 \sin \varphi_2[/imath] (3)
Lập tỉ số [imath](3) / (2)[/imath] ta được: [imath]\tan \varphi=\dfrac{A_1 \sin \varphi_1+A_2 \sin \varphi_2}{A_1 \cos \varphi_1+A_2 \cos \varphi_2}[/imath]


Xem thêm:
[Vật lí 7] HỆ THỐNG MỤC MỤC CÁC LỚP
[Vật lí 8] HỆ THỐNG MỤC MỤC CÁC LỚP
[Vật lí 9] HỆ THỐNG MỤC MỤC CÁC LỚP
[Vật lí 10] HỆ THỐNG MỤC MỤC CÁC LỚP
[Vật lí 11] HỆ THỐNG MỤC MỤC CÁC LỚP
[Vật lí 12] HỆ THỐNG MỤC MỤC CÁC LỚP

 

[Rau muống xào]

Bài tập SGK​

Câu 1:
Biểu diễn phương trình của dao động điều hòa bằng một vectơ quay được vẽ tại thời điểm ban đầu như hình vẽ. Vectơ quay có những đặc điểm sau đây

Có gốc taị gốc tọa độ của trục [imath]Ox;[/imath] Có độ dài bằng biên độ dao động, [imath]OM = A;[/imath] Hợp với trục [imath]Ox[/imath] một góc bằng pha ban đầu (chọn chiều dương là chiều của đường tròn lượng giác).

​

Câu 2:

• Tổng hợp hai dao động thành phần cùng phương : [imath]x_1 = A_1\cos(\omega t + \varphi_1)[/imath] và [imath]x_2 = A_2\cos(\omega t_2 + \varphi_2)[/imath] là chúng ta thực hiện phép tính [imath]x = x_1 + x_2[/imath] và kết quả ta thu được là một dao động tổng hợp x có dạng [imath]x = A\cos(\omega t + \varphi)[/imath]

Lần lượt vẽ hai vectơ quay [imath]\overrightarrow{OM_1}[/imath] và [imath]\overrightarrow{OM_2}[/imath] biểu diễn hai li độ [imath]x_1 = A_1\cos(\omega t + \varphi_1)[/imath] và [imath]x_2 = A_2\cos(\omega t_2 + \varphi_2)[/imath] tại thời điểm ban đầu. Sau đó ta vẽ vectơ [imath]\overrightarrow{OM}[/imath] là tổng của hai vectơ trên. Vì hai vectơ [imath]\overrightarrow{OM_1}[/imath] và [imath]\overrightarrow{OM_2}[/imath] có cùng một tốc đô góc [imath]\omega[/imath] nên hình bình hành [imath]OM_1MM_2[/imath] không biến dạng và quay với tốc độ góc [imath]\omega[/imath]. Vectơ đường chéo cùng [imath]\overrightarrow{OM}[/imath] là một vectơ quay với tốc độ góc [imath]\omega[/imath] quanh gốc tọa độ [imath]O.[/imath]

+ Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số là một dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số với hai dao động đó.
+ Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp được tính bằng các công thức sau đây: [imath]\begin{cases} A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos\Delta \varphi \\ \tan \varphi = \dfrac{A_1\sin\varphi_1+A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1+A_2\cos\varphi_2}\end{cases}[/imath]

Câu 3:
Biên độ của dao động tổng hợp phụ thuộc vào các biên độ [imath]A_1, A_2[/imath] và độ lệch pha [imath](\Delta \varphi= \varphi_2 - \varphi_1)[/imath] của các dao động thành phần.
a) Nếu các dao động thành phần cùng pha, tức [imath]\Delta \varphi= \varphi_2 - \varphi_1 = 2n\pi, (n = 0, \pm 1, \pm 2,...),[/imath] thì biên độ dao động tổng hợp là lớn nhất và bằng tổng hai biên độ: [imath]A = A_1 + A_2.[/imath]
b) Nếu hai dao động thành phần ngược pha, tức [imath]\Delta \varphi= \varphi_2 - \varphi_1 = (2n+1)\pi, (n = 0, \pm 1, \pm 2,...)[/imath] thì biên độ dao động tổng hợp là nhỏ nhất: [imath]A = |A_1 – A_2|.[/imath]
c) Nếu hai dao động thành phần vuông pha, tức [imath]\Delta \varphi=(2k+1)\dfrac{\pi}{2}, (n = 0, \pm 1, \pm 2,...)[/imath], thì biên độ dao động tổng hợp là: [imath]A=\sqrt{A_1^2+A_2^2}[/imath]

Câu 4:
Hai dao động ngược pha khi [imath]\Delta \varphi= \varphi_2 - \varphi_1 = (2n+1)\pi, (n = 0, \pm 1, \pm 2,...)[/imath]

Câu 5:
Vectơ quay [imath]\overrightarrow{OM}[/imath] có:

• Độ lớn bằng hai đơn vị chiều dài nên biên độ dao động [imath]A = 2[/imath] đơn vị chiều dài.
• Quay quanh [imath]O[/imath] với tốc độ góc [imath]1 rad/s[/imath] nên tần số [imath]\omega = 1rad/s.[/imath]

Tại thời điểm [imath]t = 0[/imath], vectơ [imath]\overrightarrow{OM}[/imath] hợp với trục [imath]Ox[/imath] một góc [imath]30^o[/imath] nên pha ban đầu là [imath]\varphi = \dfrac{\pi}{6} rad.[/imath]
Phương trình dao động: [imath]x = 2\cos\left(t + \dfrac{\pi}{6}\right)[/imath]

Câu 6:
Sử dụng máy tính casio 580: [imath]x=x_1+x_2\Rightarrow x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\angle \dfrac{\pi}{2}+\sqrt{3}\angle\dfrac{5\pi}{6}=2,3\angle 0,73\pi[/imath]
[imath]\Rightarrow[/imath] Phương trình dao động tổng hợp là: [imath]x=2,3 \cos\left(5\pi t+0,73\pi\right)[/imath]

Xem thêm:
[Vật lí 7] HỆ THỐNG MỤC MỤC CÁC LỚP
[Vật lí 8] HỆ THỐNG MỤC MỤC CÁC LỚP
[Vật lí 9] HỆ THỐNG MỤC MỤC CÁC LỚP
[Vật lí 10] HỆ THỐNG MỤC MỤC CÁC LỚP
[Vật lí 11] HỆ THỐNG MỤC MỤC CÁC LỚP
[Vật lí 12] HỆ THỐNG MỤC MỤC CÁC LỚP

 

[Rau muống xào]

Giải bài tập sách bài tập​

Câu 5.1:
Dùng phương pháp giản đồ Fre-nen, có thể biểu diễn được dao động tổng hợp của hai dao động cùng phương, cùng chu kì
Chọn [imath]A[/imath]

Câu 5.2:
Ta có: [imath]{A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \Delta \varphi[/imath]
[imath]\Rightarrow A^2=A_1^2+A_2^2[/imath]

Câu 5.3:
Ta có: [imath]{A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \Delta \varphi[/imath]
[imath]\Rightarrow A^2=4\sqrt{3} cm[/imath]

Câu 5.4:
Ta có: [imath]{A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \Delta \varphi[/imath]
[imath]\Rightarrow A=13 cm[/imath]

Câu 5.5:
Ta có: [imath]{A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \Delta \varphi[/imath]
[imath]\Rightarrow A=5cm[/imath]
Lại có: [imath]\tan \alpha = \dfrac{{{A_2}}}{{{A_1}}} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \alpha = 0,2\pi \Rightarrow \varphi = \alpha + \dfrac{\pi }{2} = 0,7\pi (rad)[/imath]'

Câu 5.6
Ta có: [imath]{A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \Delta \varphi[/imath]
[imath]\Rightarrow A=5\sqrt{2}cm[/imath]
[imath]\Rightarrow \varphi=\dfrac{\pi}{2} \ rad[/imath]

Câu 5.7
Ta có: [imath]{A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \Delta \varphi[/imath]
[imath]\Rightarrow A=5,8cm[/imath]
[imath]\Rightarrow \varphi=\dfrac{\pi}{4}[/imath]

Câu 5.8:
Ta có: [imath]{A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \Delta \varphi[/imath]
[imath]\Rightarrow A=2\sqrt{3}cm[/imath]
[imath]\Rightarrow \varphi= \widehat{AOA_1}+\widehat{A_1Ox}=\dfrac{\pi}{2}[/imath]
[imath]\Rightarrow x=2\sqrt{3}\cos\left(10\pi t+\dfrac{\pi}{2}\right)[/imath] cm

Câu 5.9:
Ta có: [imath]{A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \Delta \varphi[/imath]
[imath]\Rightarrow A=6\sqrt{2}cm[/imath]
[imath]\Rightarrow \varphi=-\dfrac{\pi}{4}[/imath]
[imath]\Rightarrow x=6\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{5\pi t}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right)[/imath] cm

Câu 5.10:
Ta có: [imath]{A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \Delta \varphi[/imath]
[imath]\Rightarrow A=6[/imath]
[imath]\Rightarrow \varphi=-\dfrac{\pi}{12}[/imath]
[imath]\Rightarrow x=6\cos\left(\omega t+\dfrac{\pi}{12}\right)[/imath] cm