ẩn sau kỹ thuật cô si ngược dấu

Thảo luận trong 'Thảo luận chung' bắt đầu bởi anhtuanphan, 9 Tháng sáu 2010.

Lượt xem: 8,309

  1. anhtuanphan

    anhtuanphan Guest

    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    Chắc hẳn mọi người đều đã nghe qua kỹ thuật cô si ngược dấu
    VD1: (trích sách sáng tạo BĐT của nguyễn kim hùng trang 14)
    “Các số dương a,b,c thoả mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh bất đẳng thức [tex]\frac{a}{1+{b}^{2}}+\frac{b}{1+{c}^{2}}+\frac{c}{1+{a}^{2}}>=\frac{3}{2} [/tex]
    Lời giải:
    Ta không thể dùng trực tiếp bất đẳng thức AM-GM với mẫu số vì bất đẳng thức sau đó sẽ đổi chiều
    [tex]\frac{a}{1+{b}^{2}}+\frac{b}{1+{c}^{2}}+\frac{c}{1+{a}^{2}}<=\frac{a}{2b}+\frac{b}{2c}+\frac{c}{2a}>=\frac{3}{2}[/tex]?!vô lý
    Tuy nhiên rất may mắn ta có thể dùng lại bất đẳng thức đó theo cách khác
    [tex]\frac{a}{1+{b}^{2}}=a-\frac{a{b}^{2}}{1+{b}^{2}}>=a-\frac{a{b}^{2}}{2b}=a-\frac{ab}{2}[/tex]
    Ta đã sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số [tex]1+{b}^{2}>=2b[/tex] ở dưới mẫu nhưng lại được một bất đẳng thức thuận chiều?Sự may mắn ở đây là một cách dùng ngược bất đẳng thức AM-GM, một kỹ thuật rất ấn tượng và bất ngờ.Nếu không sử dụng phương pháp này thì bất đẳng thức trên sẽ rất khó và dài
    Từ bất đẳng thức trên, xây dựng 2 bất đẳng thức tương tự với b,c rồi cộng cả 3 bất đẳng thức lại suy ra
    [tex]\frac{a}{1+{b}^{2}}+\frac{b}{1+{c}^{2}}+\frac{c}{1+{a}^{2}}>= a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2} >= \frac{3}{2}[/tex]
    Vì ta có ab+bc+ca <=3.Đẳng thức chỉ xảy ra khi a=b=c=1
    Với cách làm trên các bạn thử làm bài này xem
    VD2:chứng minh với mọi số thực dương a,b,c ta luôn có
    [tex]\frac{{a}^{3}}{{a}^{2}+{b}^{2}}+\frac{{b}^{3}}{{b}^{2}+{c}^{2}}+\frac{{c}^{3}}{{c}^{2}+{a}^{2}}>= \frac{(a+b+c)}{2} [/tex]
    Bài này cũng sử dụng kỹ thuật co si ngược dấu
    Lời giải
    Sử dụng bất đẳng thức AM-GM với 2 số
    [tex] \frac{{a}^{3}}{{a}^{2}+{b}^{2}}=a-\frac{a{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}>=a-\frac{a{b}^{2}}{2ab}=a-\frac{b}{2}[/tex]
    Xây dựng 2 bất đẳng thức tương tự với b,c rồi cộng theo vế các bất đẳng thức lại ta có điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi a=b=c’’.
    Bây giờ nếu có 1 bài tương tự các bạn có làm được không?
    VD3:chứng minh với mọi số dương a,b,c có tổng bằng 3 thì
    [tex]\frac{a+1}{1+b^2}+\frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+a^2}>=3[/tex]
    VD4:cho a,b,c là các số thực dương.CMR:
    [tex]\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}>= 3-\frac{a+b+c}{2}[/tex]
    VD5:chứng minh rằng với mọi số dương a,b,c có tổng bằng 3 thì
    [tex]\frac{a^2}{a+2b^3}+\frac{b^2}{b+2c^3}+\frac{c^2}{c+2a^3}>=1 [/tex]
    VD6: chứng minh với mọi số dương a,b,c,d thì
    [tex]\frac{a^4}{a^3+2b^3}+\frac{b^4}{b^3+2c^3}+\frac{c^4}{c^3+2d^3}+\frac{d^4}{d^3+2a^3} >=\frac{a+b+c+d}{3} [/tex]
    Các bạn hãy thử làm và nếu không áp dụng được ví dụ 1 và ví dụ 2 để giải các ví dụ kia thì xin hãy theo dõi
    Có phải các bạn lúng túng;vì cách giải chưa thật cụ thể khiến cho bạn không thể chủ động giải nó.Tất cả các sách BĐT hiện nay đều viết như thế khiến cho học sinh học bất đẳng thức phải nhìn giải nhiều nhiều.Và bây giờ các bạn có thể tự tin làm các bài trên nếu biết BĐT mà em gọi là ban sơ và áp dụng nó trong kỹ thuật cô si ngược dấu.
    Có thể nhiều người rất thắc mắc không biết áp dụng kỹ thuật này như thế nào vào giải một bài toán như em.Mọi người chăm học thì sẽ thuộc dạng và dễ dàng làm được, còn 1 số người học muộn như em mà lại sắp thi Đại học thì việc thuộc dạng thật là khó khăn.Không muốn các bạn mất đi 1 điểm trong đề thi em xin …
    Hôm nay em xin giới thiệu nét đẹp ẩn trong kỹ thuật cô si ngược dấu. Đó là 1 BĐT ban sơ , mở đầu cho 1 kỹ thuật co si hiệu quả đầy ấn tượng
    Chúng ta hãy cùng bắt tay nào.
    Bất đẳng thức ban sơ
    [tex]\frac{1}{(1+b^2}>=1-\frac{b}{2} [/tex] với [tex] b>0 [/tex]
    Thật dễ chứng minh BĐT này bằng cách dùng cosi
    [tex]\frac{1}{(1+{b}^{2})}=1-\frac{b^2}{1+b^2}>=1-\frac{b^2}{2b}=1-\frac{b}{2}[/tex]
    Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi b=1
    Bất đẳng thức này quá đơn giản, khiến ta không thể ngờ nó là chìa khoá của kỹ thuật co si ngược dấu. Ta đi vào bài toán đầu tiên là ví dụ 1 ở đầu bài
    VD1:“Các số dương a,b,c thoả mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh bất đẳng thức [tex]\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}>= \frac{3}{2} [/tex]
    Lời nhận xét: ở đây có tiềm ẩn bất đẳng thức ban sơ
    [tex] \frac{a}{1+b^2}=a\frac{1}{1+b^2}>=a(1-\frac{b}{2} )=a-\frac{ab}{2} [/tex]
    Xong rồi như vậy là ta đã hoàn thành xong kỹ thuật ngược dấu như trong lời giải ở bên trên
    Còn ví dụ 2 thì sao?
    VD2:chứng minh với mọi số thực dương a,b,c ta luôn có
    [tex]\frac{{a}^{3}}{{a}^{2}+{b}^{2}}+\frac{{b}^{3}}{{b}^{2}+{c}^{2}}+\frac{{c}^{3}}{{c}^{2}+{a}^{2}}>= \frac{a+b+c}{2} [/tex]
    Em cam đoan với mọi người bài này cũng ẩn chứa BĐT ban sơ
    Nhận xét:
    [tex] \frac{{a}^{3}}{{a}^{2}+{b}^{2}}[/tex] không có vẻ gì chưa đựng BĐT ban sơ cả.Nhưng bạn chia tử mẫu cho [tex]a^2[/tex]xem ta sẽ được
    [tex] \frac{{a}^{3}}{{a}^{2}+{b}^{2}}=a.\frac{1}{1+\frac{b^2}{a^2}}[/tex]
    Đến đây thì dễ rồi.Nếu coi [tex]\frac{b}{a}=x[/tex] thì ta có
    [tex] a.\frac{1}{1+\frac{b^2}{a^2}}= a.\frac{1}{1+x^2}>=a(1-\frac{x}{2}=a-\frac{ax}{2}=a-\frac{b}{2}) [/tex]
    Như vậy là khớp với lời giải ở ví dụ 2 rồi
    Qua 2 ví dụ ta suy ra rằng một bài có thể giải bằng kỹ thuật cô si ngược dấu nếu ta đưa nó được về dạng [tex] a.\frac{1}{(1+b^2)} [/tex] là bất đẳng thức ban sơ
    Bây giờ ta làm các ví dụ còn lại
    VD3:chứng minh với mọi số dương a,b,c có tổng bằng 3 thì
    [tex]\frac{a+1}{1+b^2}+\frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+a^2}>=3[/tex]
    Hướng dẫn: VD3 ngon ăn nhất vì đã có dạng BĐT ban sơ
    Ta biến đổi
    [tex] \frac{a+1}{1+b^2}>=(a+1)(1-\frac{b}{2})=a+\frac{ab}{2}+\frac{b}{2}-1[/tex]
    Xây dựng 2 bất đẳng thức tương tự với b,c rồi cộng theo vế các bất đẳng thức lại ta có điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1’’.
    VD4:cho a,b,c là các số thực dương.CMR:
    [tex]\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}>= 3-\frac{a+b+c}{2}[/tex]
    Hướng dẫn:
    Đặt [tex]ab=x^2[/tex]
    Ta sẽ được [tex] \frac{1}{1+ab}>= 1-\frac{\sqr{ab}}{2} >= 1- \frac{a+b}{4} [/tex]
    VD5:chứng minh rằng với mọi số dương a,b,c có tổng bằng 3 thì
    [tex]\frac{a^2}{a+2b^3}+\frac{b^2}{b+2c^3}+\frac{c^2}{c+2a^3}>=1 [/tex]
    Hướng dẫn:
    VD5 thì ta phải chia tử mẫu của [tex]\frac{a^2}{a+2b^3}[/tex] cho a
    Và ta được [tex]a\frac{1}{1+{\sqr{\frac{2b^3}{a} }}^2}[/tex]
    Đặt [tex] \sqr{\frac{2b^3}{a} }=x[/tex]
    Ta được [tex]\frac{a^2}{a+2b^3}>=a-\frac{ax}{2}[/tex]
    Và làm 1 hồi ta sẽ không ra.
    Bài này xin dành phần sau sẽ nói rõ
    Chú ý: phần sau sẽ là cách giải bài toán này
    VD6: chứng minh với mọi số dương a,b,c,d thì
    [tex]\frac{a^4}{a^3+2b^3}+\frac{b^4}{b^3+2c^3}+\frac{c^4}{c^3+2d^3}+\frac{d^4}{d^3+2a^3} >=\frac{a+b+c+d}{3} [/tex]

    VD7:cho a,b,c là các số thực dương
    CMR:[tex]\frac{a^3}{2a-b}+\frac{b^3}{2b-c}+\frac{c^3}{2c-a}>= a^2+b^2+c^2[/tex] đúng khi mẫu lớn hơn 0
    Và 1 số dạng tương tự của VD5 và VD6 và VD7:D
     
    Last edited by a moderator: 9 Tháng sáu 2010
  2. anhtuanphan

    anhtuanphan Guest

    Đây là một số bài tập mình đưa ra để các bạn làm
    Bài 1: với a,b,c dương CMR:
    [tex]\frac{1}{2a-1}+\frac{1}{2b-1}+\frac{1}{2c-1}>= \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}[/tex] đúng khi mẫu lớn hơn 0
    Bài 2 cho a,b,c là các số thực dương. Có CMR:
    [tex]\frac{1}{4-a}+\frac{1}{4-b}+\frac{1}{4-c}>=\frac{3}{4}+\frac{a^2+b^2+c^2}{16}[/tex] đúng khi mẫu lớn hơn 0
    Bài 3:với a,b,c dương CMR:
    [tex]\frac{a^6}{2a^2-b}+\frac{b^6}{2b^2-c}+\frac{c^6}{2c^2-a}>= a^3+b^3+c^3[/tex]
    đúng khi mẫu lớn hơn 0
     
    Last edited by a moderator: 9 Tháng sáu 2010
  3. anhtuanphan

    anhtuanphan Guest

    Sau hai ngày có 2 ý kiến phản hồi trái ngược nhau về bài tiểu luận của mình, mình quyết định viết trọn vẹn topic này.Có vẻ như các bài toán của mình đưa ra quá dễ, đề tài quá quen thuộc nên không gây hứng thú cho các bạn
    Chính vì thế hôm nay mình xin tiếp tục bằng bài sau
    ẩn sau kĩ thuật cô si ngược dấu là một kỹ thuật cô si xuôi dấu
    Đây là một số bài tập mình đã đưa ra để các bạn làm
    Bài 1: với a,b,c dương CMR:
    [tex]\frac{1}{2a-1}+\frac{1}{2b-1}+\frac{1}{2c-1}>= \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}[/tex] đúng khi mẫu lớn hơn 0
    Bài 2 cho a,b,c là các số thực dương. Có CMR:
    [tex]\frac{1}{4-a}+\frac{1}{4-b}+\frac{1}{4-c}>=\frac{3}{4}+\frac{a^2+b^2+c^2}{16}[/tex] đúng khi mẫu lớn hơn 0
    Bài 3:với a,b,c dương CMR:
    [tex]\frac{a^6}{2a^2-b}+\frac{b^6}{2b^2-c}+\frac{c^6}{2c^2-a}>= a^3+b^3+c^3[/tex]
    đúng khi mẫu lớn hơn 0
    cả ba bài này đều là kết quả của kỹ thuật cô si ngược dấu, mà tinh hoa chỉ tóm gọn trong BĐT ban sơ
    xin nhắc lại BĐT ban sơ
    với b là số thực dương thì ta có
    [tex]\frac{1}{(1+b^2}>=1-\frac{b}{2} [/tex]
    Đẳng thức xảy ra khi b=1
    Những điều thú vị luôn luôn ẩn náu và ta phải mở nó ra như đánh bóng một viên kim cương ẩn trong sỏi đá vậy
    Nhìn bất đẳng thức kia sẽ chẳng có gì mới mẻ.Nhưng nếu như ta biến đổi nó thành:
    [tex]\frac{1}{(1+b^2}>=\frac{(2-b)}{2} [/tex]
    Và nếu cho 2-b lớn hơn 0 thì ta sẽ được
    [tex]\frac{1}{2-b}>=\frac{1}{2}(1+b^2)[/tex]
    Và đây chính là chìa khoá giúp ta làm các bất đẳng thức trên
    Ta hãy phát biểu lại BĐT (*) vừa tìm được thật rành rọt
    Với b là số thực dương thì
    [tex]\frac{1}{2-b}>=\frac{1}{2}(1+b^2)[/tex] luôn đúng khi mẫu lớn hơn 0
    Ta quay trở lại giải các bài toán trên
    Bài 1: với a,b,c dương CMR:
    [tex]\frac{1}{2a-1}+\frac{1}{2b-1}+\frac{1}{2c-1}>= \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}[/tex] đúng khi mẫu lớn hơn 0
    Giải
    [tex] \frac{1}{2a-1}=\frac{1}{a}.\frac{1}{2-\frac{1}{a}}[/tex]
    Đến đây đã xuất hiện BĐT (*) nên ta dễ dàng làm tiếp
    [tex]\frac{1}{a}.\frac{1}{2-\frac{1}{a}}>=\frac{1}{a}. \frac{1}{2}.(1+\frac{1}{a^2})[/tex] đến đây ta dùng cô si
    [tex]>=\frac{1}{a}.\frac{1}{2}.\frac{2}{a}=\frac{1}{a^2}[/tex]
    Xây dựng 2 BĐT tương tự ta được ĐPCM
    Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a=b=c=1
    Đây chính là pp mà mình tạm gọi là kỹ thuật cô si xuôi dấu
    Bài 2 các bạn tự làm
    Bài 3:với a,b,c dương CMR:
    [tex]\frac{a^6}{2a^2-b}+\frac{b^6}{2b^2-c}+\frac{c^6}{2c^2-a}>= a^3+b^3+c^3[/tex] đúng khi mẫu lớn hơn 0
    Giải:
    [tex]\frac{a^6}{2a^2-b}=\frac{a^4}{2-\frac{b}{a^2}}>=a^4.\frac{1}{2}(1+\frac{b^2}{a^4})=\frac{a^4}{2}+\frac{b^2}{2}[/tex]
    Xây dựng 2 BĐT tương tự ta được
    [tex]\frac{a^6}{2a^2-b}+\frac{b^6}{2b^2-c}+\frac{c^6}{2c^2-a}>=\frac{a^4+a^2}{2}+\frac{b^4+b^2}{2}+\frac{c^4+c^2}{2}[/tex]
    Dùng cô si ta được
    [tex]\frac{a^6}{2a^2-b}+\frac{b^6}{2b^2-c}+\frac{c^6}{2c^2-a}>=a^3+b^3+c^3\sqr{}[/tex] ĐPCM
    Từ đây ta có bài toán tổng quát sau
    Với a,b,c là các số thực dương và k là số nguyên dương
    [tex]\frac{a^{3k}}{2a^k-b}+\frac{b^{3k}}{2b^k-c}+\frac{c^{3k}}{2c^k-a}>= a^{k+1}+b^{k+1}+c^{k+1}[/tex] đúng khi mẫu lớn hơn 0
    Bây giờ thì các bạn đã có thể giải được các bài dạng này và có thể sáng tạo thêm các bài tương tự
    Mình vẫn chưa nghĩ ra cách mới chứng minh các bất đẳng thức trên, rất mong các bạn có cách giải mới về các bài trên và ý kiến phản hồi về cho mình
    Cảm ơn các bạn đã quan tâm
    Nếu các bạn có thể sáng tạo ra thêm bài toán mới về dạng trên xin đóng góp để mọi người cùng giải
    Sau đây là một số bài toán do mình nghĩ ra, xin mời mọi người cùng làm, tất nhiên là không giống 2 dạng trên
    Bài 1: cho a,b,c là các số thực dương.CMR:
    a,[tex] \sum\limits_{cyc}\frac{1-ab}{a+b}>=3-(a+b+c)[/tex]
    b,[tex] \sum\limits_{cyc}\frac{1-3ab}{a+b}>=3-2(a+b+c)[/tex]
    c,[tex] \sum\limits_{cyc}\frac{2}{ab+1}>=6-(a+b+c)[/tex]
    d,[tex] \sum\limits_{cyc}\frac{a^2+b^2+2a^2b^2}{2ab}>=2(a+b+c)[/tex]
    các bạn chú ý vì vế phải luôn có tổng a+b+c
    rất vui khi nhận được các ý kiến phản hồi từ các bạn.
    :)|
     
    Last edited by a moderator: 11 Tháng sáu 2010
  4. anhtuanphan

    anhtuanphan Guest

    Đây là 1 số bài tập để các bạn luyện tập dạng 2
    Bài 1: cho a,b,c là các số thực dương nằm trong đoạn [0;4]. CMR:

    [tex] \sum\limits_{cyc}\frac{2a-2}{2-\sqr{a}}>=(a^2+b^2+c^2)-3[/tex]
    Bài 2: cho a,b,c là các số thực dương .CMR:

    [tex] \sum\limits_{cyc}\frac{a-b}{2b-\sqr{ab}}>=0[/tex] đúng khi mẫu lớn hơn 0
    Bài 3:cho a,b,c nằm trong đoạn[0,2].CMR:

    [tex] \sum\limits_{cyc}\frac{3a-2}{2-a}>=(a^3+b^3+c^3)[/tex]:D:)|
     
  5. quyenuy0241

    quyenuy0241 Guest

    1.

    [tex] \frac{2(a-1)}{a^2-1}=\frac{2}{a+1} \ge 2- \sqrt{a} [/tex]

    Do [tex]\frac{2}{a+1}=2-\frac{2a}{a+1} \ge 2-\sqrt{a} [/tex]

    [tex]\Rightarrow \frac{2a-2}{2-\sqrt{a}} \ge a^2-1 [/tex]

    Các BDT khác tương tự




    2.

    [tex] 2b-\frac{2ab}{a+b} \ge 2b-\sqrt{ab} \Rightarrow \frac{2b^2}{a+b} \ge 2b-\sqrt{ab}[/tex]

    [tex]\Leftrightarrow \frac{a-b}{2b-\sqrt{ab}} \ge \frac{a^2-b^2}{2b^2}=\frac{a^2}{2b^2}-\frac{1}{2} [/tex]

    Các BDT tương tự :

    [tex]VT \ge \frac{1}{2}(\sum\frac{a^2}{b^2}-3) \ge 0 [/tex]
    Thế đã rảnh post tiếp xem đá bóng đã:D:D:D
     
    Last edited by a moderator: 14 Tháng sáu 2010
  6. vnzoomvodoi

    vnzoomvodoi Guest

    Theo như em thấy trong các BĐT ứng dụng Cauchy ngược dấu thì ở phần tử số luôn có một ẩn có thể chia hết cho một hạng tử ở mẫu số rồi từ đó rút gọn (đa số là vậy)--->....
    Ví dụ ở VD3 là a^3 chia cho a^2, VD4 là 1 chia cho 1, VD5 là a^2 với a, VD6 là a^4 với a^3
    Tất nhiên là không phải bài nào cũng dễ dàng như vậy. Vì thế nên em vẫn chỉ là 1 con gà BĐT :((
    Thanks các anh nhiều :D

    P/S: bài 2 trong bt tự c/m của anh phantuan có vẻ hơi kì quặc (1/4-a....)
     
    Last edited by a moderator: 14 Tháng sáu 2010
  7. anhtuanphan

    anhtuanphan Guest

    biến đổi [tex]\frac{1}{4-a}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2-(\frac{a}{2})}[/tex] rồi làm tiếp
     
  8. anhtuanphan

    anhtuanphan Guest

    mình đã cố tình ra bài này sai mà không ai phát hiện ra sao
    các bạn thử sửa lại vế trái để được BĐT đúng
     
  9. anhtuanphan

    anhtuanphan Guest

    Một thiếu sót nho nhỏ trong hầu hết các tài liệu đã dẫn tới không thể giải được bài phương trình nghiệm nguyên
    [tex]\frac{2005}{x+y}+ \frac{x}{y+2004}+ \frac{y}{4009}+ \frac{2004}{x+2005} =2[/tex] một cách đơn giản nhất, hay nhất.
    Đặt z=2005 và t=2004 ta được
    BĐT netbis 4 biến [tex]\frac{x}{y+t}+\frac{y}{z+t}+ \frac{t}{x+z}+\frac{z}{x+y}>=2[/tex]
    Đây là BĐT quen thuộc với chúng ta và hầu hết các sách đều nói đẳng thức xảy ra khi x=y=z=t
    Và điều đó dẫn tới là bài toán trên vô nghiệm. nhưng ta biết nó có nghiệm x=2004 và y=2005 tức là x khác y vẫn đúng
    Sau 1 hồi loay hoay mình đã nhận ra:
    Và điều thiếu sót chính là không phải đẳng thức chỉ xảy ra khi x=y=t=z
    mà đẳng thức còn xảy ra khi x=t và y=z, và x=y=z=t chính là trường hợp nhỏ của trường hợp đó
    và như vậy ta suy ra x=t =2004 và y=z=2005
    một thiếu sót nho nhỏ như vậy cũng thành sai lầm lớn về suy nghĩ của mọi học sinh về bài toán, và chính nó làm cản trở đi cách tìm ra 1 lời giải đẹp cho bài toán.Kể cả sách sáng tạo bất đẳng thức trang 6 cũng thiếu lỗi này
    qua đó ta không nên làm hời hợt khi giải toán.
    Chúc các bạn thành công!
    :D
     
  10. anhtuanphan

    anhtuanphan Guest

    cách CM Định lý [tex]lim \frac{sinx}{x}[/tex] với x-->0
    ngoài cách trong sách giáo khoa mình còn có 3 cách CM.Và cách thứ 3 mình nghĩ là hay nhất
    ta có [tex]lim \frac{f(x)-f(0)}{x}=f'(0)[/tex] với x-->0 (1)
    đặt f(x)=sinx vậy f(0)=0 và f'(0)=cos 0=1
    thay vào (1) ta có ĐPCM
     
    Last edited by a moderator: 21 Tháng bảy 2010
  11. narcissus234

    narcissus234 Guest

    chòy ơi,sao e ko hỉu j hết zậy.... :(, anhtuanphan cho em hỏi, đây là chương nào zậy?e hoc gần hết sách rồi,mà e ko bik bài mà a post thuoc pham vi nào nữa, nhìn mà mun có đom đóm lun,...hic, có thể cho e 1 tí gợi ý về những j đã post ko ạ?
     
  12. anhtuanphan

    anhtuanphan Guest

    hì, mình post tổng hợp những cái mình "bươi" ra được từ toán học
    có chỗ nào không hiểu bạn có viết vào tin nhắn khách cho mình
     
  13. cacuoq

    cacuoq Guest

    VD5:chứng minh rằng với mọi số dương a,b,c có tổng bằng 3 thì
    [tex]\frac{a^2}{a+2b^3}+\frac{b^2}{b+2c^3}+\frac{c^2}{c+2a^3}>=1 [/tex]
    Các bạn hãy thử làm và nếu không áp dụng được ví dụ 1 và ví dụ 2 để giải các ví dụ kia thì xin hãy theo dõi
    Có phải các bạn lúng túng;vì cách giải chưa thật cụ thể khiến cho bạn không thể chủ động giải nó.Tất cả các sách BĐT hiện nay đều viết như thế khiến cho học sinh học bất đẳng thức phải nhìn giải nhiều nhiều.Và bây giờ các bạn có thể tự tin làm các bài trên nếu biết BĐT mà em gọi là ban sơ và áp dụng nó trong kỹ thuật cô si ngược dấu.
    Có thể nhiều người rất thắc mắc không biết áp dụng kỹ thuật này như thế nào vào giải một bài toán như em.Mọi người chăm học thì sẽ thuộc dạng và dễ dàng làm được, còn 1 số người học muộn như em mà lại sắp thi Đại học thì việc thuộc dạng thật là khó khăn.Không muốn các bạn mất đi 1 điểm trong đề thi em xin …
    Hôm nay em xin giới thiệu nét đẹp ẩn trong kỹ thuật cô si ngược dấu. Đó là 1 BĐT ban sơ , mở đầu cho 1 kỹ thuật co si hiệu quả đầy ấn tượng
    Chúng ta hãy cùng bắt tay nào.
    Bất đẳng thức ban sơ
    [tex]\frac{1}{(1+b^2}>=1-\frac{b}{2} [/tex] với [tex] b>0 [/tex]
    Thật dễ chứng minh BĐT này bằng cách dùng cosi
    [tex]\frac{1}{(1+{b}^{2})}=1-\frac{b^2}{1+b^2}>=1-\frac{b^2}{2b}=1-\frac{b}{2}[/tex]
    Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi b=1
    Bất đẳng thức này quá đơn giản, khiến ta không thể ngờ nó là chìa khoá của kỹ thuật co si ngược dấu. Ta đi vào bài toán đầu tiên là ví dụ 1 ở đầu bài
    VD1:“Các số dương a,b,c thoả mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh bất đẳng thức [tex]\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}>= \frac{3}{2} [/tex]
    Lời nhận xét: ở đây có tiềm ẩn bất đẳng thức ban sơ
    [tex] \frac{a}{1+b^2}=a\frac{1}{1+b^2}>=a(1-\frac{b}{2} )=a-\frac{ab}{2} [/tex]
    Xong rồi như vậy là ta đã hoàn thành xong kỹ thuật ngược dấu như trong lời giải ở bên trên
    Còn ví dụ 2 thì sao?
    VD2:chứng minh với mọi số thực dương a,b,c ta luôn có
    [tex]\frac{{a}^{3}}{{a}^{2}+{b}^{2}}+\frac{{b}^{3}}{{b}^{2}+{c}^{2}}+\frac{{c}^{3}}{{c}^{2}+{a}^{2}}>= \frac{a+b+c}{2} [/tex]
    Em cam đoan với mọi người bài này cũng ẩn chứa BĐT ban sơ
    Nhận xét:
    [tex] \frac{{a}^{3}}{{a}^{2}+{b}^{2}}[/tex] không có vẻ gì chưa đựng BĐT ban sơ cả.Nhưng bạn chia tử mẫu cho [tex]a^2[/tex]xem ta sẽ được
    [tex] \frac{{a}^{3}}{{a}^{2}+{b}^{2}}=a.\frac{1}{1+\frac{b^2}{a^2}}[/tex]
    Đến đây thì dễ rồi.Nếu coi [tex]\frac{b}{a}=x[/tex] thì ta có
    [tex] a.\frac{1}{1+\frac{b^2}{a^2}}= a.\frac{1}{1+x^2}>=a(1-\frac{x}{2}=a-\frac{ax}{2}=a-\frac{b}{2}) [/tex]
    Như vậy là khớp với lời giải ở ví dụ 2 rồi
    Qua 2 ví dụ ta suy ra rằng một bài có thể giải bằng kỹ thuật cô si ngược dấu nếu ta đưa nó được về dạng [tex] a.\frac{1}{(1+b^2)} [/tex] là bất đẳng thức ban sơ
    Bây giờ ta làm các ví dụ còn lại
    VD3:chứng minh với mọi số dương a,b,c có tổng bằng 3 thì
    [tex]\frac{a+1}{1+b^2}+\frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+a^2}>=3[/tex]
    Hướng dẫn: VD3 ngon ăn nhất vì đã có dạng BĐT ban sơ
    Ta biến đổi
    [tex] \frac{a+1}{1+b^2}>=(a+1)(1-\frac{b}{2})=a+\frac{ab}{2}+\frac{b}{2}-1[/tex]
    Xây dựng 2 bất đẳng thức tương tự với b,c rồi cộng theo vế các bất đẳng thức lại ta có điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1’’.
    VD4:cho a,b,c là các số thực dương.CMR:
    [tex]\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}>= 3-\frac{a+b+c}{2}[/tex]
    Hướng dẫn:
    Đặt [tex]ab=x^2[/tex]
    Ta sẽ được [tex] \frac{1}{1+ab}>= 1-\frac{\sqr{ab}}{2} >= 1- \frac{a+b}{4} [/tex]
    VD5:chứng minh rằng với mọi số dương a,b,c có tổng bằng 3 thì
    [tex]\frac{a^2}{a+2b^3}+\frac{b^2}{b+2c^3}+\frac{c^2}{c+2a^3}>=1 [/tex]

    Ví dụ 5 làm như thế nào vậy ạ,em không làm được
     
    Last edited by a moderator: 25 Tháng năm 2014
  14. lediepdanphuong@gmail.com

    lediepdanphuong@gmail.com Học sinh mới Thành viên

    Bài viết:
    13
    Điểm thành tích:
    6

    Anh ơi, cho em 1 số dạng BĐT thường gặp trong kì thi chuyên hay sách luyện BĐT với ạ
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->