A
anhtuanphan
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Chắc hẳn mọi người đều đã nghe qua kỹ thuật cô si ngược dấu
VD1: (trích sách sáng tạo BĐT của nguyễn kim hùng trang 14)
“Các số dương a,b,c thoả mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh bất đẳng thức [tex]\frac{a}{1+{b}^{2}}+\frac{b}{1+{c}^{2}}+\frac{c}{1+{a}^{2}}>=\frac{3}{2} [/tex]
Lời giải:
Ta không thể dùng trực tiếp bất đẳng thức AM-GM với mẫu số vì bất đẳng thức sau đó sẽ đổi chiều
[tex]\frac{a}{1+{b}^{2}}+\frac{b}{1+{c}^{2}}+\frac{c}{1+{a}^{2}}<=\frac{a}{2b}+\frac{b}{2c}+\frac{c}{2a}>=\frac{3}{2}[/tex]?!vô lý
Tuy nhiên rất may mắn ta có thể dùng lại bất đẳng thức đó theo cách khác
[tex]\frac{a}{1+{b}^{2}}=a-\frac{a{b}^{2}}{1+{b}^{2}}>=a-\frac{a{b}^{2}}{2b}=a-\frac{ab}{2}[/tex]
Ta đã sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số [tex]1+{b}^{2}>=2b[/tex] ở dưới mẫu nhưng lại được một bất đẳng thức thuận chiều?Sự may mắn ở đây là một cách dùng ngược bất đẳng thức AM-GM, một kỹ thuật rất ấn tượng và bất ngờ.Nếu không sử dụng phương pháp này thì bất đẳng thức trên sẽ rất khó và dài
Từ bất đẳng thức trên, xây dựng 2 bất đẳng thức tương tự với b,c rồi cộng cả 3 bất đẳng thức lại suy ra
[tex]\frac{a}{1+{b}^{2}}+\frac{b}{1+{c}^{2}}+\frac{c}{1+{a}^{2}}>= a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2} >= \frac{3}{2}[/tex]
Vì ta có ab+bc+ca <=3.Đẳng thức chỉ xảy ra khi a=b=c=1
Với cách làm trên các bạn thử làm bài này xem
VD2:chứng minh với mọi số thực dương a,b,c ta luôn có
[tex]\frac{{a}^{3}}{{a}^{2}+{b}^{2}}+\frac{{b}^{3}}{{b}^{2}+{c}^{2}}+\frac{{c}^{3}}{{c}^{2}+{a}^{2}}>= \frac{(a+b+c)}{2} [/tex]
Bài này cũng sử dụng kỹ thuật co si ngược dấu
Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM với 2 số
[tex] \frac{{a}^{3}}{{a}^{2}+{b}^{2}}=a-\frac{a{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}>=a-\frac{a{b}^{2}}{2ab}=a-\frac{b}{2}[/tex]
Xây dựng 2 bất đẳng thức tương tự với b,c rồi cộng theo vế các bất đẳng thức lại ta có điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi a=b=c’’.
Bây giờ nếu có 1 bài tương tự các bạn có làm được không?
VD3:chứng minh với mọi số dương a,b,c có tổng bằng 3 thì
[tex]\frac{a+1}{1+b^2}+\frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+a^2}>=3[/tex]
VD4:cho a,b,c là các số thực dương.CMR:
[tex]\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}>= 3-\frac{a+b+c}{2}[/tex]
VD5:chứng minh rằng với mọi số dương a,b,c có tổng bằng 3 thì
[tex]\frac{a^2}{a+2b^3}+\frac{b^2}{b+2c^3}+\frac{c^2}{c+2a^3}>=1 [/tex]
VD6: chứng minh với mọi số dương a,b,c,d thì
[tex]\frac{a^4}{a^3+2b^3}+\frac{b^4}{b^3+2c^3}+\frac{c^4}{c^3+2d^3}+\frac{d^4}{d^3+2a^3} >=\frac{a+b+c+d}{3} [/tex]
Các bạn hãy thử làm và nếu không áp dụng được ví dụ 1 và ví dụ 2 để giải các ví dụ kia thì xin hãy theo dõi
Có phải các bạn lúng túng;vì cách giải chưa thật cụ thể khiến cho bạn không thể chủ động giải nó.Tất cả các sách BĐT hiện nay đều viết như thế khiến cho học sinh học bất đẳng thức phải nhìn giải nhiều nhiều.Và bây giờ các bạn có thể tự tin làm các bài trên nếu biết BĐT mà em gọi là ban sơ và áp dụng nó trong kỹ thuật cô si ngược dấu.
Có thể nhiều người rất thắc mắc không biết áp dụng kỹ thuật này như thế nào vào giải một bài toán như em.Mọi người chăm học thì sẽ thuộc dạng và dễ dàng làm được, còn 1 số người học muộn như em mà lại sắp thi Đại học thì việc thuộc dạng thật là khó khăn.Không muốn các bạn mất đi 1 điểm trong đề thi em xin …
Hôm nay em xin giới thiệu nét đẹp ẩn trong kỹ thuật cô si ngược dấu. Đó là 1 BĐT ban sơ , mở đầu cho 1 kỹ thuật co si hiệu quả đầy ấn tượng
Chúng ta hãy cùng bắt tay nào.
Bất đẳng thức ban sơ
[tex]\frac{1}{(1+b^2}>=1-\frac{b}{2} [/tex] với [tex] b>0 [/tex]
Thật dễ chứng minh BĐT này bằng cách dùng cosi
[tex]\frac{1}{(1+{b}^{2})}=1-\frac{b^2}{1+b^2}>=1-\frac{b^2}{2b}=1-\frac{b}{2}[/tex]
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi b=1
Bất đẳng thức này quá đơn giản, khiến ta không thể ngờ nó là chìa khoá của kỹ thuật co si ngược dấu. Ta đi vào bài toán đầu tiên là ví dụ 1 ở đầu bài
VD1:“Các số dương a,b,c thoả mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh bất đẳng thức [tex]\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}>= \frac{3}{2} [/tex]
Lời nhận xét: ở đây có tiềm ẩn bất đẳng thức ban sơ
[tex] \frac{a}{1+b^2}=a\frac{1}{1+b^2}>=a(1-\frac{b}{2} )=a-\frac{ab}{2} [/tex]
Xong rồi như vậy là ta đã hoàn thành xong kỹ thuật ngược dấu như trong lời giải ở bên trên
Còn ví dụ 2 thì sao?
VD2:chứng minh với mọi số thực dương a,b,c ta luôn có
[tex]\frac{{a}^{3}}{{a}^{2}+{b}^{2}}+\frac{{b}^{3}}{{b}^{2}+{c}^{2}}+\frac{{c}^{3}}{{c}^{2}+{a}^{2}}>= \frac{a+b+c}{2} [/tex]
Em cam đoan với mọi người bài này cũng ẩn chứa BĐT ban sơ
Nhận xét:
[tex] \frac{{a}^{3}}{{a}^{2}+{b}^{2}}[/tex] không có vẻ gì chưa đựng BĐT ban sơ cả.Nhưng bạn chia tử mẫu cho [tex]a^2[/tex]xem ta sẽ được
[tex] \frac{{a}^{3}}{{a}^{2}+{b}^{2}}=a.\frac{1}{1+\frac{b^2}{a^2}}[/tex]
Đến đây thì dễ rồi.Nếu coi [tex]\frac{b}{a}=x[/tex] thì ta có
[tex] a.\frac{1}{1+\frac{b^2}{a^2}}= a.\frac{1}{1+x^2}>=a(1-\frac{x}{2}=a-\frac{ax}{2}=a-\frac{b}{2}) [/tex]
Như vậy là khớp với lời giải ở ví dụ 2 rồi
Qua 2 ví dụ ta suy ra rằng một bài có thể giải bằng kỹ thuật cô si ngược dấu nếu ta đưa nó được về dạng [tex] a.\frac{1}{(1+b^2)} [/tex] là bất đẳng thức ban sơ
Bây giờ ta làm các ví dụ còn lại
VD3:chứng minh với mọi số dương a,b,c có tổng bằng 3 thì
[tex]\frac{a+1}{1+b^2}+\frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+a^2}>=3[/tex]
Hướng dẫn: VD3 ngon ăn nhất vì đã có dạng BĐT ban sơ
Ta biến đổi
[tex] \frac{a+1}{1+b^2}>=(a+1)(1-\frac{b}{2})=a+\frac{ab}{2}+\frac{b}{2}-1[/tex]
Xây dựng 2 bất đẳng thức tương tự với b,c rồi cộng theo vế các bất đẳng thức lại ta có điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1’’.
VD4:cho a,b,c là các số thực dương.CMR:
[tex]\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}>= 3-\frac{a+b+c}{2}[/tex]
Hướng dẫn:
Đặt [tex]ab=x^2[/tex]
Ta sẽ được [tex] \frac{1}{1+ab}>= 1-\frac{\sqr{ab}}{2} >= 1- \frac{a+b}{4} [/tex]
VD5:chứng minh rằng với mọi số dương a,b,c có tổng bằng 3 thì
[tex]\frac{a^2}{a+2b^3}+\frac{b^2}{b+2c^3}+\frac{c^2}{c+2a^3}>=1 [/tex]
Hướng dẫn:
VD5 thì ta phải chia tử mẫu của [tex]\frac{a^2}{a+2b^3}[/tex] cho a
Và ta được [tex]a\frac{1}{1+{\sqr{\frac{2b^3}{a} }}^2}[/tex]
Đặt [tex] \sqr{\frac{2b^3}{a} }=x[/tex]
Ta được [tex]\frac{a^2}{a+2b^3}>=a-\frac{ax}{2}[/tex]
Và làm 1 hồi ta sẽ không ra.
Bài này xin dành phần sau sẽ nói rõ
Chú ý: phần sau sẽ là cách giải bài toán này
VD6: chứng minh với mọi số dương a,b,c,d thì
[tex]\frac{a^4}{a^3+2b^3}+\frac{b^4}{b^3+2c^3}+\frac{c^4}{c^3+2d^3}+\frac{d^4}{d^3+2a^3} >=\frac{a+b+c+d}{3} [/tex]
VD7:cho a,b,c là các số thực dương
CMR:[tex]\frac{a^3}{2a-b}+\frac{b^3}{2b-c}+\frac{c^3}{2c-a}>= a^2+b^2+c^2[/tex] đúng khi mẫu lớn hơn 0
Và 1 số dạng tương tự của VD5 và VD6 và VD7
VD1: (trích sách sáng tạo BĐT của nguyễn kim hùng trang 14)
“Các số dương a,b,c thoả mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh bất đẳng thức [tex]\frac{a}{1+{b}^{2}}+\frac{b}{1+{c}^{2}}+\frac{c}{1+{a}^{2}}>=\frac{3}{2} [/tex]
Lời giải:
Ta không thể dùng trực tiếp bất đẳng thức AM-GM với mẫu số vì bất đẳng thức sau đó sẽ đổi chiều
[tex]\frac{a}{1+{b}^{2}}+\frac{b}{1+{c}^{2}}+\frac{c}{1+{a}^{2}}<=\frac{a}{2b}+\frac{b}{2c}+\frac{c}{2a}>=\frac{3}{2}[/tex]?!vô lý
Tuy nhiên rất may mắn ta có thể dùng lại bất đẳng thức đó theo cách khác
[tex]\frac{a}{1+{b}^{2}}=a-\frac{a{b}^{2}}{1+{b}^{2}}>=a-\frac{a{b}^{2}}{2b}=a-\frac{ab}{2}[/tex]
Ta đã sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số [tex]1+{b}^{2}>=2b[/tex] ở dưới mẫu nhưng lại được một bất đẳng thức thuận chiều?Sự may mắn ở đây là một cách dùng ngược bất đẳng thức AM-GM, một kỹ thuật rất ấn tượng và bất ngờ.Nếu không sử dụng phương pháp này thì bất đẳng thức trên sẽ rất khó và dài
Từ bất đẳng thức trên, xây dựng 2 bất đẳng thức tương tự với b,c rồi cộng cả 3 bất đẳng thức lại suy ra
[tex]\frac{a}{1+{b}^{2}}+\frac{b}{1+{c}^{2}}+\frac{c}{1+{a}^{2}}>= a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2} >= \frac{3}{2}[/tex]
Vì ta có ab+bc+ca <=3.Đẳng thức chỉ xảy ra khi a=b=c=1
Với cách làm trên các bạn thử làm bài này xem
VD2:chứng minh với mọi số thực dương a,b,c ta luôn có
[tex]\frac{{a}^{3}}{{a}^{2}+{b}^{2}}+\frac{{b}^{3}}{{b}^{2}+{c}^{2}}+\frac{{c}^{3}}{{c}^{2}+{a}^{2}}>= \frac{(a+b+c)}{2} [/tex]
Bài này cũng sử dụng kỹ thuật co si ngược dấu
Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM với 2 số
[tex] \frac{{a}^{3}}{{a}^{2}+{b}^{2}}=a-\frac{a{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}>=a-\frac{a{b}^{2}}{2ab}=a-\frac{b}{2}[/tex]
Xây dựng 2 bất đẳng thức tương tự với b,c rồi cộng theo vế các bất đẳng thức lại ta có điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi a=b=c’’.
Bây giờ nếu có 1 bài tương tự các bạn có làm được không?
VD3:chứng minh với mọi số dương a,b,c có tổng bằng 3 thì
[tex]\frac{a+1}{1+b^2}+\frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+a^2}>=3[/tex]
VD4:cho a,b,c là các số thực dương.CMR:
[tex]\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}>= 3-\frac{a+b+c}{2}[/tex]
VD5:chứng minh rằng với mọi số dương a,b,c có tổng bằng 3 thì
[tex]\frac{a^2}{a+2b^3}+\frac{b^2}{b+2c^3}+\frac{c^2}{c+2a^3}>=1 [/tex]
VD6: chứng minh với mọi số dương a,b,c,d thì
[tex]\frac{a^4}{a^3+2b^3}+\frac{b^4}{b^3+2c^3}+\frac{c^4}{c^3+2d^3}+\frac{d^4}{d^3+2a^3} >=\frac{a+b+c+d}{3} [/tex]
Các bạn hãy thử làm và nếu không áp dụng được ví dụ 1 và ví dụ 2 để giải các ví dụ kia thì xin hãy theo dõi
Có phải các bạn lúng túng;vì cách giải chưa thật cụ thể khiến cho bạn không thể chủ động giải nó.Tất cả các sách BĐT hiện nay đều viết như thế khiến cho học sinh học bất đẳng thức phải nhìn giải nhiều nhiều.Và bây giờ các bạn có thể tự tin làm các bài trên nếu biết BĐT mà em gọi là ban sơ và áp dụng nó trong kỹ thuật cô si ngược dấu.
Có thể nhiều người rất thắc mắc không biết áp dụng kỹ thuật này như thế nào vào giải một bài toán như em.Mọi người chăm học thì sẽ thuộc dạng và dễ dàng làm được, còn 1 số người học muộn như em mà lại sắp thi Đại học thì việc thuộc dạng thật là khó khăn.Không muốn các bạn mất đi 1 điểm trong đề thi em xin …
Hôm nay em xin giới thiệu nét đẹp ẩn trong kỹ thuật cô si ngược dấu. Đó là 1 BĐT ban sơ , mở đầu cho 1 kỹ thuật co si hiệu quả đầy ấn tượng
Chúng ta hãy cùng bắt tay nào.
Bất đẳng thức ban sơ
[tex]\frac{1}{(1+b^2}>=1-\frac{b}{2} [/tex] với [tex] b>0 [/tex]
Thật dễ chứng minh BĐT này bằng cách dùng cosi
[tex]\frac{1}{(1+{b}^{2})}=1-\frac{b^2}{1+b^2}>=1-\frac{b^2}{2b}=1-\frac{b}{2}[/tex]
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi b=1
Bất đẳng thức này quá đơn giản, khiến ta không thể ngờ nó là chìa khoá của kỹ thuật co si ngược dấu. Ta đi vào bài toán đầu tiên là ví dụ 1 ở đầu bài
VD1:“Các số dương a,b,c thoả mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh bất đẳng thức [tex]\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}>= \frac{3}{2} [/tex]
Lời nhận xét: ở đây có tiềm ẩn bất đẳng thức ban sơ
[tex] \frac{a}{1+b^2}=a\frac{1}{1+b^2}>=a(1-\frac{b}{2} )=a-\frac{ab}{2} [/tex]
Xong rồi như vậy là ta đã hoàn thành xong kỹ thuật ngược dấu như trong lời giải ở bên trên
Còn ví dụ 2 thì sao?
VD2:chứng minh với mọi số thực dương a,b,c ta luôn có
[tex]\frac{{a}^{3}}{{a}^{2}+{b}^{2}}+\frac{{b}^{3}}{{b}^{2}+{c}^{2}}+\frac{{c}^{3}}{{c}^{2}+{a}^{2}}>= \frac{a+b+c}{2} [/tex]
Em cam đoan với mọi người bài này cũng ẩn chứa BĐT ban sơ
Nhận xét:
[tex] \frac{{a}^{3}}{{a}^{2}+{b}^{2}}[/tex] không có vẻ gì chưa đựng BĐT ban sơ cả.Nhưng bạn chia tử mẫu cho [tex]a^2[/tex]xem ta sẽ được
[tex] \frac{{a}^{3}}{{a}^{2}+{b}^{2}}=a.\frac{1}{1+\frac{b^2}{a^2}}[/tex]
Đến đây thì dễ rồi.Nếu coi [tex]\frac{b}{a}=x[/tex] thì ta có
[tex] a.\frac{1}{1+\frac{b^2}{a^2}}= a.\frac{1}{1+x^2}>=a(1-\frac{x}{2}=a-\frac{ax}{2}=a-\frac{b}{2}) [/tex]
Như vậy là khớp với lời giải ở ví dụ 2 rồi
Qua 2 ví dụ ta suy ra rằng một bài có thể giải bằng kỹ thuật cô si ngược dấu nếu ta đưa nó được về dạng [tex] a.\frac{1}{(1+b^2)} [/tex] là bất đẳng thức ban sơ
Bây giờ ta làm các ví dụ còn lại
VD3:chứng minh với mọi số dương a,b,c có tổng bằng 3 thì
[tex]\frac{a+1}{1+b^2}+\frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+a^2}>=3[/tex]
Hướng dẫn: VD3 ngon ăn nhất vì đã có dạng BĐT ban sơ
Ta biến đổi
[tex] \frac{a+1}{1+b^2}>=(a+1)(1-\frac{b}{2})=a+\frac{ab}{2}+\frac{b}{2}-1[/tex]
Xây dựng 2 bất đẳng thức tương tự với b,c rồi cộng theo vế các bất đẳng thức lại ta có điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1’’.
VD4:cho a,b,c là các số thực dương.CMR:
[tex]\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}>= 3-\frac{a+b+c}{2}[/tex]
Hướng dẫn:
Đặt [tex]ab=x^2[/tex]
Ta sẽ được [tex] \frac{1}{1+ab}>= 1-\frac{\sqr{ab}}{2} >= 1- \frac{a+b}{4} [/tex]
VD5:chứng minh rằng với mọi số dương a,b,c có tổng bằng 3 thì
[tex]\frac{a^2}{a+2b^3}+\frac{b^2}{b+2c^3}+\frac{c^2}{c+2a^3}>=1 [/tex]
Hướng dẫn:
VD5 thì ta phải chia tử mẫu của [tex]\frac{a^2}{a+2b^3}[/tex] cho a
Và ta được [tex]a\frac{1}{1+{\sqr{\frac{2b^3}{a} }}^2}[/tex]
Đặt [tex] \sqr{\frac{2b^3}{a} }=x[/tex]
Ta được [tex]\frac{a^2}{a+2b^3}>=a-\frac{ax}{2}[/tex]
Và làm 1 hồi ta sẽ không ra.
Bài này xin dành phần sau sẽ nói rõ
Chú ý: phần sau sẽ là cách giải bài toán này
VD6: chứng minh với mọi số dương a,b,c,d thì
[tex]\frac{a^4}{a^3+2b^3}+\frac{b^4}{b^3+2c^3}+\frac{c^4}{c^3+2d^3}+\frac{d^4}{d^3+2a^3} >=\frac{a+b+c+d}{3} [/tex]
VD7:cho a,b,c là các số thực dương
CMR:[tex]\frac{a^3}{2a-b}+\frac{b^3}{2b-c}+\frac{c^3}{2c-a}>= a^2+b^2+c^2[/tex] đúng khi mẫu lớn hơn 0
Và 1 số dạng tương tự của VD5 và VD6 và VD7
Last edited by a moderator: