ai chung minh hộ mìng bdt này

[conga222222]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

\[\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}}\frac{{{c^3}}}{{{c^2} + ca + {c^2}}} \ge \frac{{a + b + c}}{3}\]

 

[drmssi]

\[\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}}\frac{{{c^3}}}{{{c^2} + ca + {c^2}}} \ge \frac{{a + b + c}}{3}\]

Chắc bạn viết sai phân số cuối nhỉ
[TEX]VT=\frac{a^4}{a(a^2+ab+b^2)}+\frac{b^4}{b(b^2+bc+c^2)}+\frac{c^4}{c(c^2+ac+a^2)}[/TEX]
Áp dụng bđt Sơvác:[TEX]VT\geq\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a(a^2+ab+b^2)+b(b^2+bc+c^2)+c(c^2+ac+a^2)}[/TEX]
[TEX]=\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}[/TEX]
[TEX]=\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\geq\frac{(a+b+c)^2}{3(a+b+c)}[/TEX]
Dấu"=" xảy ra[TEX]\Leftrightarrow a=b=c[/TEX]

 

[conga222222]

Chắc bạn viết sai phân số cuối nhỉ
[TEX]VT=\frac{a^4}{a(a^2+ab+b^2)}+\frac{b^4}{b(b^2+bc+c^2)}+\frac{c^4}{c(c^2+ac+a^2)}[/TEX]
Áp dụng bđt Sơvác:[TEX]VT\geq\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a(a^2+ab+b^2)+b(b^2+bc+c^2)+c(c^2+ac+a^2)}[/TEX]
[TEX]=\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}[/TEX]
[TEX]=\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\geq\frac{(a+b+c)^2}{3(a+b+c)}[/TEX]
Dấu"=" xảy ra[TEX]\Leftrightarrow a=b=c[/TEX]

mình không có viết sai đề đâu mình chỉ viết thiếu a b c dương thôi ( nhưng mình cũng không dám đảm bảo là đề này đúng đề này là thằng bạn nó đố )

 

[drmssi]

Tớ nghĩ đề như thế này:
[TEX]a,b,c>0,CMR:\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}}+\frac{{{c^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}} \ge \frac{{a + b + c}}{3}\[/TEX]