Giả thiết:
- a,b là các số nguyên dương thỏa mãn a+b+1 là ước nguyên tố của 4(a2+ab+b2)−3.
Kết luận:
- a+b−1 là ước dương của 4(a2+ab+b2)−3.
Chứng minh:
Bước 1: Phân tích vế trái:
Ta có thể viết lại vế trái của phương trình giả thiết như sau:
4(a2+ab+b2)−3=(2a+2b+1)(2a+2b−2)
Bước 2: Phân tích thành nhân tử:
Nhận xét rằng 2a+2b+1 và 2a+2b−2 đều là các số chẵn. Do đó, tích của chúng chia hết cho 4.
Bước 3: Lập luận:
Vì a+b+1 là ước nguyên tố của (2a+2b+1)(2a+2b−2), nên một trong hai thừa số này phải chia hết cho a+b+1.
- Trường hợp 1: 2a+2b+1 chia hết cho a+b+1.
Ta có thể viết lại thành: (2a+2b)+1=(a+b)+(a+b)+1 chia hết cho a+b+1.
Suy ra a+b chia hết cho a+b+1. Điều này chỉ xảy ra khi a+b=0, vô lý vì a và b là các số nguyên dương.
- Trường hợp 2: 2a+2b−2 chia hết cho a+b+1.
Ta có thể viết lại thành: (2a+2b)−2=(a+b)+(a+b)−2 chia hết cho a+b+1.
Suy ra a+b−1 chia hết cho a+b+1.
Kết luận:
Từ hai trường hợp trên, ta có thể kết luận rằng a+b−1 luôn chia hết cho a+b+1. Hơn nữa, vì a và b là các số nguyên dương nên a+b−1 và a+b+1 đều là các số dương.
Vậy, a+b−1 là ước dương của 4(a2+ab+b2)−3.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
